Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm BC, đường cao từ A cắt BC tại H. Chứng minh rằng AH : HD = AB : AC.

Để chứng minh rằng \( \frac{AH}{HD} = \frac{AB}{AC} \), ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác và đường trung tuyến. 1. Xét tam giác ABC: - Gọi \( D \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( BD = DC \). 2. Xét đường cao \( AH \) từ \( A \) xuống \( BC \): - \( H \) là chân đường cao, do đó \( AH \) vuông góc với \( BC \). 3. Sử dụng tính chất của đường trung tuyến: - Vì \( D \) là trung điểm của \( BC \), nên \( AD \) là đường trung tuyến của tam giác \( ABC \). 4. Sử dụng định lý đường trung tuyến trong tam giác vuông: - Trong tam giác vuông \( AHB \) và \( AHC \), ta có: - \( \frac{AH}{HD} = \frac{AB \cdot \sin \angle AHB}{AC \cdot \sin \angle AHC} \). 5. Do \( \angle AHB = \angle AHC = 90^\circ \): - Ta có \( \sin \angle AHB = \sin \angle AHC = 1 \). 6. Kết luận: - Từ đó suy ra \( \frac{AH}{HD} = \frac{AB}{AC} \). Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \( \frac{AH}{HD} = \frac{AB}{AC} \).