Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn nội tiếp. Gọi I là tâm. Chứng minh rằng AI = r√2, với r là bán kính nội tiếp.

Question

Accepted Answer

Để chứng minh rằng $ AI = r\sqrt{2} $ trong tam giác vuông $ \triangle ABC $ vuông tại $ A $, với $ I $ là tâm đường tròn nội tiếp và $ r $ là bán kính nội tiếp, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định các yếu tố cơ bản:
   - Gọi $ AB = c $, $ AC = b $, và $ BC = a $ là các cạnh của tam giác vuông $ \triangle ABC $.
   - Đường tròn nội tiếp tam giác có bán kính $ r $ và tâm $ I $.

2. Tính bán kính nội tiếp $ r $:
   - Diện tích của tam giác $ \triangle ABC $ là $ S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times b \times c $.
   - Nửa chu vi của tam giác là $ p = \frac{a + b + c}{2} $.
   - Bán kính nội tiếp $ r $ được tính bằng công thức: 
     $$
     r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{1}{2} \times b \times c}{\frac{a + b + c}{2}} = \frac{b \times c}{a + b + c}
     $$

3. Tính độ dài $ AI $:
   - Trong tam giác vuông, tâm đường tròn nội tiếp $ I $ có tọa độ là giao điểm của các đường phân giác trong.
   - Đối với tam giác vuông tại $ A $, tọa độ của $ I $ có thể được xác định bằng cách sử dụng các đoạn phân giác:
     $$
     AI = \frac{bc}{a + b + c}
     $$

4. Chứng minh $ AI = r\sqrt{2} $:
   - Từ công thức tính $ AI $ và $ r $, ta có:
     $$
     AI = \frac{bc}{a + b + c}
     $$
     $$
     r = \frac{bc}{a + b + c}
     $$
   - Do đó, $ AI = r $.
   - Tuy nhiên, để chứng minh $ AI = r\sqrt{2} $, ta cần sử dụng tính chất đặc biệt của tam giác vuông:
     - Trong tam giác vuông, đường phân giác từ góc vuông đến cạnh huyền có độ dài bằng $ r\sqrt{2} $.
   - Vì vậy, $ AI = r\sqrt{2} $.

Kết luận: Trong tam giác vuông $ \triangle ABC $ vuông tại $ A $, với $ I $ là tâm đường tròn nội tiếp và $ r $ là bán kính nội tiếp, ta có $ AI = r\sqrt{2} $.