Cho tam giác ABC. Vẽ đường tròn nội tiếp (I) cắt AB, AC tại D, E. Chứng minh rằng DE song song với BC.

Để chứng minh rằng DE song song với BC, ta sẽ sử dụng một số tính chất của đường tròn nội tiếp và các đoạn thẳng tiếp tuyến. 1. Tính chất của đường tròn nội tiếp: - Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại các điểm D, F, E. 2. Tính chất của các đoạn thẳng tiếp tuyến: - Theo tính chất của các đoạn thẳng tiếp tuyến từ một điểm đến một đường tròn, ta có: - AD = AF (vì D và F là các điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp với các cạnh AB và BC). - BE = BF (vì E và F là các điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp với các cạnh AC và BC). - CE = CD (vì E và D là các điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp với các cạnh AC và AB). 3. Chứng minh DE song song với BC: - Xét các đoạn thẳng AD, BE, CE, CD: - AD = AF và BE = BF, do đó AD + BE = AF + BF. - CE = CD và BE = BF, do đó CE + BE = CD + BF. - Từ các đẳng thức trên, ta có: - AD + BE = AF + BF = AB - BD - CE + BE = CD + BF = AC - CE - Do đó, DE = AD + BE - (CE + BE) = AB - AC. - Vì DE là một đoạn thẳng nối hai điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp với các cạnh AB và AC, và DE = AB - AC, nên DE song song với BC theo định lý đường trung bình trong tam giác. Vậy, DE song song với BC.