Giúp mik vs ạ

Câu 14: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích hàm số và điều kiện để phương trình có nghiệm thuộc đoạn \([-1;2]\). Bước 1: Phân tích hàm số Cho hàm số \( y = f(x) \) có đồ thị như hình vẽ. Từ đồ thị, ta thấy: - Hàm số có cực đại tại \( x = -1 \) với \( f(-1) = 4 \). - Hàm số có cực tiểu tại \( x = 2 \) với \( f(2) = -3 \). Bước 2: Xét phương trình Phương trình cần xét là: \[ f(x^3 - 3x^2 + m) + 3 = 0 \] Tương đương: \[ f(x^3 - 3x^2 + m) = -3 \] Bước 3: Điều kiện để phương trình có nghiệm Để phương trình có nghiệm, cần có: \[ x^3 - 3x^2 + m \in [-1, 2] \] Vì \( f(x) = -3 \) khi \( x = 2 \), ta cần: \[ x^3 - 3x^2 + m = 2 \] Bước 4: Tìm giá trị của \( m \) Ta có: \[ x^3 - 3x^2 + m = 2 \implies m = 2 - (x^3 - 3x^2) \] Xét hàm \( g(x) = x^3 - 3x^2 \) trên đoạn \([-1, 2]\): - \( g(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 = -1 - 3 = -4 \) - \( g(2) = 2^3 - 3 \times 2^2 = 8 - 12 = -4 \) Hàm \( g(x) \) đạt giá trị từ \([-4, 0]\) trên đoạn \([-1, 2]\). Bước 5: Tìm giá trị nguyên của \( m \) Vì \( m = 2 - g(x) \), nên: \[ m = 2 - g(x) \in [2 - 0, 2 - (-4)] = [2, 6] \] Các giá trị nguyên của \( m \) là \( 2, 3, 4, 5, 6 \). Kết luận Có tất cả 5 giá trị nguyên của \( m \) để phương trình có nghiệm thuộc đoạn \([-1, 2]\). Đáp án: D. 5. Câu 15: Để xác định số lượng đường tiệm cận của đồ thị hàm số \( y = f(x) \), ta cần xem xét các loại đường tiệm cận có thể có: 1. Tiệm cận đứng: Xảy ra khi hàm số có giới hạn vô cực tại một điểm nào đó. Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy: - Khi \( x \to -2^- \), \( y \to -\infty \). - Khi \( x \to -2^+ \), \( y \to +\infty \). Điều này cho thấy \( x = -2 \) là một đường tiệm cận đứng. 2. Tiệm cận ngang: Xảy ra khi hàm số có giới hạn hữu hạn khi \( x \to \pm\infty \). - Khi \( x \to +\infty \), \( y \to 0 \). Điều này cho thấy \( y = 0 \) là một đường tiệm cận ngang. 3. Tiệm cận xiên: Xảy ra khi hàm số có dạng \( y = ax + b \) khi \( x \to \pm\infty \). Tuy nhiên, trong bảng biến thiên không có dấu hiệu của tiệm cận xiên. Tóm lại, đồ thị của hàm số có 2 đường tiệm cận: một đường tiệm cận đứng \( x = -2 \) và một đường tiệm cận ngang \( y = 0 \). Vậy đáp án đúng là: B. 2. Câu 16: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^4 - 12x^2 - 4 \) trên đoạn \([0; 9]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 12x^2 - 4) = 4x^3 - 24x \] 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 4x^3 - 24x = 0 \] \[ 4x(x^2 - 6) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 - 6 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = \sqrt{6} \quad \text{hoặc} \quad x = -\sqrt{6} \] 3. Loại bỏ các điểm không thuộc đoạn \([0; 9]\): Các điểm tới hạn trong đoạn \([0; 9]\) là: \[ x = 0 \quad \text{và} \quad x = \sqrt{6} \] 4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn: - Tại \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^4 - 12 \cdot 0^2 - 4 = -4 \] - Tại \( x = \sqrt{6} \): \[ f(\sqrt{6}) = (\sqrt{6})^4 - 12(\sqrt{6})^2 - 4 = 36 - 72 - 4 = -40 \] - Tại \( x = 9 \): \[ f(9) = 9^4 - 12 \cdot 9^2 - 4 = 6561 - 972 - 4 = 5585 \] 5. So sánh các giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất: \[ f(0) = -4, \quad f(\sqrt{6}) = -40, \quad f(9) = 5585 \] Giá trị nhỏ nhất trong các giá trị này là \(-40\). Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^4 - 12x^2 - 4 \) trên đoạn \([0; 9]\) là \(-40\). Đáp án đúng là: B. -40. Câu 17: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích hàm số \( y = f(x^2 - 2x + 1) \). Bước 1: Phân tích biểu thức bên trong hàm số Biểu thức \( x^2 - 2x + 1 \) có thể được viết lại dưới dạng: \[ x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 \] Bước 2: Xác định miền giá trị của \( (x-1)^2 \) Vì \( (x-1)^2 \geq 0 \) với mọi \( x \), nên miền giá trị của \( (x-1)^2 \) là \([0, +\infty)\). Bước 3: Xác định khoảng nghịch biến của \( f(x) \) Dựa vào đồ thị, hàm số \( y = f(x) \) có hai điểm cực trị tại \( x = -1 \) và \( x = 1 \). Từ đồ thị, ta thấy: - Hàm số \( f(x) \) nghịch biến trên khoảng \((-1, 1)\). Bước 4: Xác định khoảng nghịch biến của \( y = f((x-1)^2) \) Ta cần tìm khoảng \( x \) sao cho \( (x-1)^2 \) nằm trong khoảng \((-1, 1)\). Giải bất phương trình: \[ -1 < (x-1)^2 < 1 \] Vì \( (x-1)^2 \geq 0 \), nên bất phương trình trở thành: \[ 0 \leq (x-1)^2 < 1 \] Điều này tương đương với: \[ -\sqrt{1} < x-1 < \sqrt{1} \] \[ -1 < x-1 < 1 \] \[ 0 < x < 2 \] Kết luận Hàm số \( y = f((x-1)^2) \) nghịch biến trên khoảng \( (0, 2) \). Do đó, đáp án đúng là \( B.~(1, 2) \). Câu 18: Để hàm số \( y = (m-1)x^4 - (m^2-2)x^2 + 2024 \) đạt cực tiểu tại \( x = -1 \), ta cần kiểm tra hai điều kiện: 1. Đạo hàm bậc nhất \( y' \) bằng 0 tại \( x = -1 \). 2. Đạo hàm bậc hai \( y'' \) dương tại \( x = -1 \). Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất \( y' \): \[ y' = 4(m-1)x^3 - 2(m^2-2)x \] Thay \( x = -1 \) vào \( y' \): \[ y'(-1) = 4(m-1)(-1)^3 - 2(m^2-2)(-1) \] \[ y'(-1) = -4(m-1) + 2(m^2-2) \] \[ y'(-1) = -4m + 4 + 2m^2 - 4 \] \[ y'(-1) = 2m^2 - 4m \] Đặt \( y'(-1) = 0 \): \[ 2m^2 - 4m = 0 \] \[ 2m(m - 2) = 0 \] \[ m = 0 \quad \text{hoặc} \quad m = 2 \] Bước 2: Tính đạo hàm bậc hai \( y'' \): \[ y'' = 12(m-1)x^2 - 2(m^2-2) \] Thay \( x = -1 \) vào \( y'' \): \[ y''(-1) = 12(m-1)(-1)^2 - 2(m^2-2) \] \[ y''(-1) = 12(m-1) - 2(m^2-2) \] \[ y''(-1) = 12m - 12 - 2m^2 + 4 \] \[ y''(-1) = -2m^2 + 12m - 8 \] Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại \( x = -1 \) là \( y''(-1) > 0 \): \[ -2m^2 + 12m - 8 > 0 \] \[ -2(m^2 - 6m + 4) > 0 \] \[ m^2 - 6m + 4 < 0 \] Giải bất phương trình \( m^2 - 6m + 4 < 0 \): \[ m^2 - 6m + 4 = 0 \] \[ m = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} \] \[ m = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} \] \[ m = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} \] \[ m = 3 \pm \sqrt{5} \] Do đó, \( m \) nằm trong khoảng \( 3 - \sqrt{5} < m < 3 + \sqrt{5} \). Kiểm tra các giá trị \( m = 0 \) và \( m = 2 \): - Với \( m = 0 \): \[ y''(-1) = -2(0)^2 + 12(0) - 8 = -8 \quad (\text{không thỏa mãn}) \] - Với \( m = 2 \): \[ y''(-1) = -2(2)^2 + 12(2) - 8 = -8 + 24 - 8 = 8 \quad (\text{thỏa mãn}) \] Vậy giá trị của \( m \) là \( m = 2 \). Đáp án đúng là: \( D.~m=2 \). Câu 19: Để xác định khoảng mà hàm số \( y = f(x) \) đồng biến, ta cần xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \). Đạo hàm đã cho là: \[ f'(x) = (3 - x)(1 - x)^2(x + 1)^3(x^2 + 3x + 6). \] Trước tiên, ta cần tìm các điểm tới hạn bằng cách giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ (3 - x)(1 - x)^2(x + 1)^3(x^2 + 3x + 6) = 0. \] Phương trình này sẽ bằng 0 khi ít nhất một trong các nhân tử bằng 0: \[ 3 - x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3, \] \[ 1 - x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1, \] \[ x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1, \] \[ x^2 + 3x + 6 = 0. \] Phương trình \( x^2 + 3x + 6 = 0 \) vô nghiệm vì biệt thức \( \Delta = 9 - 24 = -15 < 0 \). Vậy các điểm tới hạn là \( x = -1, 1, 3 \). Tiếp theo, ta xét dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn này: \( (-\infty, -1), (-1, 1), (1, 3), (3, +\infty) \). - Trên khoảng \( (-\infty, -1) \): \[ 3 - x > 0, \quad 1 - x > 0, \quad x + 1 < 0. \] Do đó, \( f'(x) < 0 \) trên khoảng này. - Trên khoảng \( (-1, 1) \): \[ 3 - x > 0, \quad 1 - x > 0, \quad x + 1 > 0. \] Do đó, \( f'(x) > 0 \) trên khoảng này. - Trên khoảng \( (1, 3) \): \[ 3 - x > 0, \quad 1 - x < 0, \quad x + 1 > 0. \] Do đó, \( f'(x) < 0 \) trên khoảng này. - Trên khoảng \( (3, +\infty) \): \[ 3 - x < 0, \quad 1 - x < 0, \quad x + 1 > 0. \] Do đó, \( f'(x) > 0 \) trên khoảng này. Từ đó, ta thấy rằng \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \( (3, +\infty) \), tức là hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên khoảng này. Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~(3;+\infty). \]