Một lò xo treo thẳng đứng gồm lò xo nhẹ có k = 50 N/m, vật nhỏ có m = 200g. Lấy g = 10 m/s2. Tại t = 0, giữ vật để lò xo dãn 8 cm rồi truyền cho vật vận tốc 20π√3 cm/s hướng xuống. Chọn trục Ox hướng x...

Cho bài toán: - Lò xo nhẹ, độ cứng k = 50 N/m - Vật nhỏ khối lượng m = 200 g = 0,2 kg - Gia tốc trọng trường g = 10 m/s² - Tại t = 0, giữ vật để lò xo dãn 8 cm = 0,08 m rồi truyền cho vật vận tốc \( v_0 = 20 \pi \sqrt{3} \) cm/s = \( 0,2 \pi \sqrt{3} \) m/s hướng xuống - Trục Ox hướng xuống, O là vị trí cân bằng (VTCB) --- **Bước 1: Xác định vị trí cân bằng** VTCB của vật là vị trí mà lực đàn hồi cân bằng với trọng lực: \[ k x_0 = mg \Rightarrow x_0 = \frac{mg}{k} = \frac{0.2 \times 10}{50} = 0.04 \text{ m} = 4 \text{ cm} \] Vị trí cân bằng là vị trí lò xo dãn 4 cm. --- **Bước 2: Xác định các thông số ban đầu của dao động** Trục Ox hướng xuống, O tại VTCB (x=0 tại VTCB) - Tại t=0, vật được giữ để lò xo dãn 8 cm → vị trí \( x(0) = 8 \text{ cm} - 4 \text{ cm} = 4 \text{ cm} = 0.04 \text{ m} \) (so với VTCB) - Vận tốc ban đầu \( v(0) = 20 \pi \sqrt{3} \) cm/s = \( 0.2 \pi \sqrt{3} \) m/s, hướng xuống nên \( v(0) > 0 \) --- **Bước 3: Xác định phương trình dao động** Dao động điều hòa có dạng: \[ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) \] với \[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{50}{0.2}} = \sqrt{250} = 5 \sqrt{10} \approx 15.811 \text{ rad/s} \] --- **Bước 4: Áp dụng điều kiện ban đầu** Tại t=0: \[ x(0) = A \cos \phi = 0.04 \] \[ v(t) = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin(\omega t + \phi) \] \[ v(0) = -A \omega \sin \phi = 0.2 \pi \sqrt{3} \approx 0.2 \times 3.1416 \times 1.732 = 1.088 \text{ m/s} \] --- **Bước 5: Giải hệ phương trình** \[ \begin{cases} A \cos \phi = 0.04 \\ - A \omega \sin \phi = 1.088 \end{cases} \] Từ 2 phương trình ta có: \[ \sin \phi = -\frac{1.088}{A \omega} \] \[ \cos \phi = \frac{0.04}{A} \] Biểu thức \( \sin^2 \phi + \cos^2 \phi = 1 \Rightarrow \) \[ \left( \frac{0.04}{A} \right)^2 + \left( -\frac{1.088}{A \omega} \right)^2 = 1 \] \[ \frac{0.04^2}{A^2} + \frac{1.088^2}{A^2 \omega^2} = 1 \] \[ \frac{0.04^2 + \frac{1.088^2}{\omega^2}}{A^2} = 1 \] Tính từng giá trị: \[ 0.04^2 = 0.0016 \] \[ 1.088^2 = 1.1845 \] \[ \omega^2 = (5 \sqrt{10})^2 = 250 \] \[ \frac{1.088^2}{\omega^2} = \frac{1.1845}{250} = 0.004738 \] \[ 0.0016 + 0.004738 = 0.006338 \] Do đó: \[ \frac{0.006338}{A^2} = 1 \Rightarrow A^2 = 0.006338 \Rightarrow A = \sqrt{0.006338} \approx 0.0796 \text{ m} = 7.96 \text{ cm} \] --- **Bước 6: Tính góc pha \(\phi\)** \[ \cos \phi = \frac{0.04}{0.0796} = 0.5025 \] \[ \sin \phi = -\frac{1.088}{0.0796 \times 15.811} = -\frac{1.088}{1.258} = -0.8644 \] Góc \(\phi\) nằm ở góc có cos dương và sin âm, tức góc ở góc thứ 4: \[ \phi = \arccos 0.5025 \approx 59.8^\circ = 1.044 \text{ rad} \] Vì \(\sin \phi < 0\), \(\phi = 2\pi - 1.044 = 5.239 \text{ rad}\) --- **Kết luận:** Phương trình dao động là: \[ x(t) = 0.0796 \cos (15.811 t + 5.239) \quad (x \text{ tính bằng m}, t \text{ tính bằng s}) \] Hoặc nếu muốn viết gần đúng: \[ x(t) = 7.96 \cos (15.81 t + 5.24) \quad (\text{cm}, s) \] --- **Lưu ý:** - \(x(t)\) là li độ so với vị trí cân bằng (VTCB) - Trục Ox hướng xuống nên dương xuống dưới --- **Đáp số:** \[ \boxed{ x(t) = 0.0796 \cos(15.811 t + 5.239) \quad (m) } \]