giải bài tập

Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), và \(\overrightarrow{AD}\) trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\). 1. Tính tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\): Tọa độ của điểm \(A\) là \((1, 1, 1)\) và tọa độ của điểm \(B\) là \((1, 0, 1)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) được tính bằng cách lấy tọa độ điểm \(B\) trừ đi tọa độ điểm \(A\): \[ \overrightarrow{AB} = (1 - 1, 0 - 1, 1 - 1) = (0, -1, 0) \] 2. Tính tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AC}\): Tọa độ của điểm \(C\) là \((0, 1, 0)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AC}\) là: \[ \overrightarrow{AC} = (0 - 1, 1 - 1, 0 - 1) = (-1, 0, -1) \] 3. Tính tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AD}\): Tọa độ của điểm \(D\) là \((1, 1, 0)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AD}\) là: \[ \overrightarrow{AD} = (1 - 1, 1 - 1, 0 - 1) = (0, 0, -1) \] Như vậy, chúng ta đã xác định được tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), và \(\overrightarrow{AD}\) trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\). Câu 2: Để giải quyết bài toán này, trước tiên chúng ta cần hiểu ý nghĩa của ký hiệu \(-5\vec{E}\). Ở đây, \(\vec{E}\) có thể được hiểu là một vectơ đơn vị trong không gian ba chiều. Thông thường, vectơ đơn vị có thể là \(\vec{i} = (1, 0, 0)\), \(\vec{j} = (0, 1, 0)\), hoặc \(\vec{k} = (0, 0, 1)\). Tuy nhiên, trong bài toán này, không có thông tin cụ thể về \(\vec{E}\). Do đó, chúng ta cần giả định rằng \(\vec{E}\) là một vectơ đơn vị nào đó. Để đơn giản, chúng ta có thể giả định \(\vec{E} = \vec{k} = (0, 0, 1)\). Khi đó, \(-5\vec{E} = -5\vec{k} = -5(0, 0, 1) = (0, 0, -5)\). Vậy tọa độ của vectơ \(-5\vec{E}\) là \((0, 0, -5)\). Do đó, đáp án đúng là: A. \((0, 0, -5)\). Câu 3: Để xác định tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{a}\), ta cần phân tích biểu thức của nó: \[ \overrightarrow{a} = -7 + 2\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k} \] Biểu thức trên có vẻ chưa được viết đúng định dạng của một vectơ trong không gian Oxyz. Thông thường, một vectơ trong không gian Oxyz được biểu diễn dưới dạng: \[ \overrightarrow{a} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k} \] Trong đó \(x\), \(y\), và \(z\) là các hệ số của các vectơ đơn vị \(\overrightarrow{i}\), \(\overrightarrow{j}\), và \(\overrightarrow{k}\) tương ứng. Dựa vào biểu thức đã cho: - Thành phần theo \(\overrightarrow{i}\) không được viết rõ ràng, nhưng có thể hiểu là \(-1\) (vì không có \(\overrightarrow{i}\) nào được viết ra, nên ta có thể coi hệ số của \(\overrightarrow{i}\) là \(-1\)). - Thành phần theo \(\overrightarrow{j}\) là \(2\). - Thành phần theo \(\overrightarrow{k}\) là \(-3\). Vậy tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{a}\) là \((-1; 2; -3)\). Do đó, đáp án đúng là: A. \((-1; 2; -3)\) Câu 4: Để tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{u}\), ta cần thực hiện các phép toán vectơ theo đề bài: Cho \(\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{j} - \overrightarrow{k}\). Trong đó: - \(\overrightarrow{i}\) là vectơ đơn vị theo trục Ox, có tọa độ \((1, 0, 0)\). - \(\overrightarrow{j}\) là vectơ đơn vị theo trục Oy, có tọa độ \((0, 1, 0)\). - \(\overrightarrow{k}\) là vectơ đơn vị theo trục Oz, có tọa độ \((0, 0, 1)\). Ta thực hiện phép nhân và cộng vectơ như sau: 1. \(2\overrightarrow{i} = 2 \times (1, 0, 0) = (2, 0, 0)\). 2. \(3\overrightarrow{j} = 3 \times (0, 1, 0) = (0, 3, 0)\). 3. \(-\overrightarrow{k} = -1 \times (0, 0, 1) = (0, 0, -1)\). Bây giờ, ta cộng các vectơ lại: \[ \overrightarrow{u} = (2, 0, 0) + (0, 3, 0) + (0, 0, -1) = (2, 3, -1) \] Vậy tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{u}\) là \((2, 3, -1)\). Do đó, đáp án đúng là \(B.~(2; 3; -1)\). Câu 5: Để tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{a}\), ta cần phân tích biểu thức của vectơ đã cho: \[ \overrightarrow{a} = -7 + 2\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k} \] Biểu thức trên có vẻ chưa đúng định dạng của một vectơ trong không gian Oxyz. Thông thường, một vectơ trong không gian Oxyz được biểu diễn dưới dạng: \[ \overrightarrow{a} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k} \] Với \(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\) là các vectơ đơn vị theo trục Ox, Oy, Oz tương ứng. Do đó, ta cần xác định lại biểu thức của \(\overrightarrow{a}\). Có thể có một lỗi trong việc viết biểu thức của vectơ. Giả sử vectơ \(\overrightarrow{a}\) được viết đúng là: \[ \overrightarrow{a} = -\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k} \] Từ đó, ta có thể xác định tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{a}\) là \((-1, 2, -3)\). Vậy đáp án đúng là: A. \(\overrightarrow{a}(-1; 2; -3)\) Câu 6: Để tìm tọa độ của véctơ \(\overrightarrow{OA}\), ta cần xác định tọa độ của điểm \(O\) và điểm \(A\). - Điểm \(O\) là gốc tọa độ trong không gian \(Oxyz\), nên có tọa độ là \((0; 0; 0)\). - Điểm \(A\) có tọa độ là \((-2; 3; 5)\). Véctơ \(\overrightarrow{OA}\) được xác định bằng cách lấy tọa độ của điểm \(A\) trừ đi tọa độ của điểm \(O\). Cụ thể: \[ \overrightarrow{OA} = (x_A - x_O; y_A - y_O; z_A - z_O) = (-2 - 0; 3 - 0; 5 - 0) = (-2; 3; 5) \] Do đó, tọa độ của véctơ \(\overrightarrow{OA}\) là \((-2; 3; 5)\). Vậy đáp án đúng là \(A.~(-2; 3; 5)\). Câu 7: Để tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\), ta cần sử dụng công thức tính tọa độ của vectơ từ hai điểm \(A(x_1, y_1, z_1)\) và \(B(x_2, y_2, z_2)\): \[ \overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) \] Áp dụng công thức trên cho hai điểm \(A(1;1;-1)\) và \(B(2;3;2)\), ta có: - Tọa độ \(x\) của \(\overrightarrow{AB}\) là: \(x_2 - x_1 = 2 - 1 = 1\) - Tọa độ \(y\) của \(\overrightarrow{AB}\) là: \(y_2 - y_1 = 3 - 1 = 2\) - Tọa độ \(z\) của \(\overrightarrow{AB}\) là: \(z_2 - z_1 = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3\) Vậy tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) là \((1, 2, 3)\). Do đó, đáp án đúng là \(A.~(1;2;3)\). Câu 8: Để tìm tọa độ của điểm \( B \), ta sử dụng thông tin về vectơ \(\overrightarrow{AB}\). Cho điểm \( A(1;2;-1) \) và vectơ \(\overrightarrow{AB} = (1;3;1)\). Giả sử tọa độ của điểm \( B \) là \( (x;y;z) \). Theo định nghĩa của vectơ, ta có: \[ \overrightarrow{AB} = (x - 1, y - 2, z + 1) \] Từ đó, ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} x - 1 = 1 \\ y - 2 = 3 \\ z + 1 = 1 \end{cases} \] Giải hệ phương trình trên: 1. \( x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2 \) 2. \( y - 2 = 3 \Rightarrow y = 5 \) 3. \( z + 1 = 1 \Rightarrow z = 0 \) Vậy tọa độ của điểm \( B \) là \( (2;5;0) \). Do đó, đáp án đúng là \( A.~B(2;5;0) \). Câu 9: Để tìm hình chiếu vuông góc của điểm \( A(3;5;2) \) lên trục Ox, ta cần xác định tọa độ của điểm trên trục Ox sao cho khoảng cách từ điểm đó đến điểm \( A \) là ngắn nhất. Trục Ox có dạng \( (x; 0; 0) \), nghĩa là mọi điểm trên trục Ox có tọa độ \( (x; 0; 0) \). Hình chiếu vuông góc của một điểm lên một trục là điểm trên trục đó có cùng hoành độ với điểm gốc và các tung độ, cao độ bằng 0. Do đó, hình chiếu vuông góc của điểm \( A(3;5;2) \) lên trục Ox sẽ có tọa độ: - Hoành độ: giữ nguyên là 3 (vì trục Ox chỉ thay đổi theo hoành độ). - Tung độ và cao độ: đều bằng 0 (vì trên trục Ox, tung độ và cao độ đều là 0). Vậy, hình chiếu vuông góc của điểm \( A(3;5;2) \) lên trục Ox có tọa độ là \( C(3;0;0) \). Do đó, đáp án đúng là \( C.~(3;0;0) \). Câu 10: Để tìm hình chiếu vuông góc của điểm \( M(3;1;-1) \) trên trục \( Oy \), ta cần xác định tọa độ của điểm trên trục \( Oy \) sao cho đường thẳng nối điểm đó với \( M \) vuông góc với trục \( Oy \). Trục \( Oy \) có phương là vector \( \vec{j} = (0, 1, 0) \). Giả sử hình chiếu của \( M \) trên trục \( Oy \) là điểm \( H(0, y, 0) \). Để \( MH \) vuông góc với trục \( Oy \), vector \( \overrightarrow{MH} \) phải vuông góc với vector \( \vec{j} \). Tính vector \( \overrightarrow{MH} \): \[ \overrightarrow{MH} = (0 - 3, y - 1, 0 + 1) = (-3, y - 1, 1) \] Điều kiện vuông góc là tích vô hướng của \( \overrightarrow{MH} \) và \( \vec{j} \) phải bằng 0: \[ \overrightarrow{MH} \cdot \vec{j} = (-3, y - 1, 1) \cdot (0, 1, 0) = -3 \cdot 0 + (y - 1) \cdot 1 + 1 \cdot 0 = y - 1 = 0 \] Giải phương trình: \[ y - 1 = 0 \Rightarrow y = 1 \] Vậy tọa độ của hình chiếu vuông góc của \( M \) trên trục \( Oy \) là \( H(0, 1, 0) \). Do đó, đáp án đúng là \( B.~(0;1;0) \). Câu 11: Để tìm hình chiếu vuông góc của điểm \( M(3; -1; 1) \) lên trục \( Oz \), ta cần xác định tọa độ của điểm trên trục \( Oz \) sao cho đường thẳng nối từ \( M \) đến điểm đó vuông góc với trục \( Oz \). Trục \( Oz \) có phương trình dạng \( (0; 0; z) \), nghĩa là mọi điểm trên trục \( Oz \) có dạng \( (0; 0; z) \). Hình chiếu vuông góc của một điểm lên một trục là điểm có cùng tọa độ với điểm đó trên trục chiếu, và các tọa độ khác bằng 0. Do đó, hình chiếu vuông góc của điểm \( M(3; -1; 1) \) lên trục \( Oz \) sẽ có dạng \( (0; 0; z) \), trong đó \( z \) là tọa độ \( z \) của điểm \( M \). Vì điểm \( M \) có tọa độ \( z = 1 \), nên hình chiếu của \( M \) lên trục \( Oz \) là \( (0; 0; 1) \). Vậy, tọa độ của hình chiếu vuông góc của điểm \( M(3; -1; 1) \) trên trục \( Oz \) là \( B.~(0; 0; 1) \). Câu 12: Để tìm hình chiếu vuông góc của điểm \( A(1;2;-3) \) lên mặt phẳng \( (Oxy) \), ta cần xác định tọa độ của điểm đó trên mặt phẳng \( (Oxy) \). Mặt phẳng \( (Oxy) \) có phương trình là \( z = 0 \). Do đó, hình chiếu vuông góc của điểm \( A \) lên mặt phẳng \( (Oxy) \) sẽ có cùng tọa độ \( x \) và \( y \) với điểm \( A \), nhưng tọa độ \( z \) sẽ bằng 0. Vậy, hình chiếu vuông góc của điểm \( A(1;2;-3) \) lên mặt phẳng \( (Oxy) \) có tọa độ là \( (1;2;0) \). Do đó, đáp án đúng là điểm \( C(1;2;0) \). Câu 13: Để tìm hình chiếu vuông góc của điểm \( M(2;1;-1) \) trên mặt phẳng \( (Ozx) \), ta cần xác định tọa độ của điểm hình chiếu sao cho khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng là ngắn nhất. Mặt phẳng \( (Ozx) \) có phương trình là \( y = 0 \). Do đó, hình chiếu vuông góc của điểm \( M \) trên mặt phẳng này sẽ có cùng tọa độ \( x \) và \( z \) với \( M \), nhưng tọa độ \( y \) sẽ bằng 0. Vậy, tọa độ của hình chiếu vuông góc của điểm \( M(2;1;-1) \) trên mặt phẳng \( (Ozx) \) là \( (2;0;-1) \). Do đó, đáp án đúng là \( D.~(2;0;-1) \). Câu 14: Để tìm hình chiếu vuông góc của điểm \( A(3; -1; 1) \) lên mặt phẳng \( (Oyz) \), ta cần hiểu rằng mặt phẳng \( (Oyz) \) có phương trình là \( x = 0 \). Do đó, hình chiếu vuông góc của điểm \( A \) lên mặt phẳng này sẽ có hoành độ bằng 0, trong khi tung độ và cao độ giữ nguyên. Bước 1: Xác định hoành độ của hình chiếu. - Vì hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng \( (Oyz) \) có hoành độ bằng 0, nên hoành độ của điểm hình chiếu là 0. Bước 2: Giữ nguyên tung độ và cao độ. - Tung độ của điểm \( A \) là \(-1\), do đó tung độ của hình chiếu cũng là \(-1\). - Cao độ của điểm \( A \) là \(1\), do đó cao độ của hình chiếu cũng là \(1\). Vậy, tọa độ của hình chiếu vuông góc của điểm \( A \) lên mặt phẳng \( (Oyz) \) là \( (0; -1; 1) \). Do đó, đáp án đúng là \( B.~N(0; -1; 1) \). Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), mặt phẳng tọa độ \(Oyz\) là mặt phẳng mà mọi điểm trên đó có hoành độ (tọa độ \(x\)) bằng 0. Điều này có nghĩa là bất kỳ điểm nào nằm trên mặt phẳng \(Oyz\) sẽ có dạng \((0, y, z)\). Để xác định điểm nào nằm trên mặt phẳng \(Oyz\), ta cần kiểm tra xem tọa độ \(x\) của điểm đó có bằng 0 hay không. Giả sử ta có một số điểm với tọa độ như sau: 1. \(A(0, 2, 3)\) 2. \(B(1, 0, 3)\) 3. \(C(0, -1, 4)\) 4. \(D(2, 3, 0)\) Ta sẽ kiểm tra từng điểm: - Điểm \(A(0, 2, 3)\): Tọa độ \(x = 0\), do đó điểm \(A\) nằm trên mặt phẳng \(Oyz\). - Điểm \(B(1, 0, 3)\): Tọa độ \(x = 1\), do đó điểm \(B\) không nằm trên mặt phẳng \(Oyz\). - Điểm \(C(0, -1, 4)\): Tọa độ \(x = 0\), do đó điểm \(C\) nằm trên mặt phẳng \(Oyz\). - Điểm \(D(2, 3, 0)\): Tọa độ \(x = 2\), do đó điểm \(D\) không nằm trên mặt phẳng \(Oyz\). Kết luận: Các điểm nằm trên mặt phẳng \(Oyz\) là \(A(0, 2, 3)\) và \(C(0, -1, 4)\).