Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Chi phí sản xuất một đơn vị A là 3 triệu đồng, một đơn vị B là 4 triệu đồng. Lợi nhuận thu được từ A là 2 triệu đồng, từ B là 3 triệu đồng. Nếu mỗi tháng,...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập hệ phương trình và tìm giá trị lớn nhất của hàm lợi nhuận. Bước 1: Đặt ẩn số - Gọi \( x \) là số lượng sản phẩm A cần sản xuất. - Gọi \( y \) là số lượng sản phẩm B cần sản xuất. Bước 2: Xác định điều kiện ràng buộc - Chi phí sản xuất một đơn vị A là 3 triệu đồng, một đơn vị B là 4 triệu đồng. - Tổng chi phí sản xuất không vượt quá 60 triệu đồng. Do đó, ta có ràng buộc: \[ 3x + 4y \leq 60 \] Bước 3: Xác định hàm mục tiêu - Lợi nhuận từ một đơn vị A là 2 triệu đồng, từ một đơn vị B là 3 triệu đồng. - Hàm lợi nhuận tổng cộng là: \[ P = 2x + 3y \] Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất của hàm lợi nhuận - Ta cần tìm giá trị lớn nhất của \( P = 2x + 3y \) trong miền giới hạn bởi \( 3x + 4y \leq 60 \). Bước 5: Giải hệ phương trình - Ta sẽ kiểm tra các điểm biên của miền giới hạn \( 3x + 4y = 60 \). 1. Khi \( x = 0 \): \[ 3(0) + 4y = 60 \] \[ y = 15 \] Lợi nhuận: \( P = 2(0) + 3(15) = 45 \) triệu đồng. 2. Khi \( y = 0 \): \[ 3x + 4(0) = 60 \] \[ x = 20 \] Lợi nhuận: \( P = 2(20) + 3(0) = 40 \) triệu đồng. 3. Khi \( x = 12 \): \[ 3(12) + 4y = 60 \] \[ 36 + 4y = 60 \] \[ 4y = 24 \] \[ y = 6 \] Lợi nhuận: \( P = 2(12) + 3(6) = 24 + 18 = 42 \) triệu đồng. 4. Khi \( x = 8 \): \[ 3(8) + 4y = 60 \] \[ 24 + 4y = 60 \] \[ 4y = 36 \] \[ y = 9 \] Lợi nhuận: \( P = 2(8) + 3(9) = 16 + 27 = 43 \) triệu đồng. 5. Khi \( x = 4 \): \[ 3(4) + 4y = 60 \] \[ 12 + 4y = 60 \] \[ 4y = 48 \] \[ y = 12 \] Lợi nhuận: \( P = 2(4) + 3(12) = 8 + 36 = 44 \) triệu đồng. Bước 6: Kết luận - Giá trị lớn nhất của hàm lợi nhuận \( P = 2x + 3y \) đạt được khi \( x = 0 \) và \( y = 15 \) với lợi nhuận là 45 triệu đồng. Vậy, công ty nên sản xuất 0 đơn vị sản phẩm A và 15 đơn vị sản phẩm B để tối đa hóa lợi nhuận.