Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x+y\le6$. Tìm GTNN của biểu thức $P=x+y+\frac{6}{x}+\frac{24}{y}$.

Ta có: $P=x+y+\frac{6}{x}+\frac{24}{y}=x+\frac{6}{x}+y+\frac{24}{y}.$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: $x+\frac{6}{x}\geq 2\sqrt{x.\frac{6}{x}}=2\sqrt{6}.$ Dấu $"="$ xảy ra khi $x=\sqrt{6}.$ $y+\frac{24}{y}\geq 2\sqrt{y.\frac{24}{y}}=4\sqrt{6}.$ Dấu $"="$ xảy ra khi $y=2\sqrt{6}.$ Do đó: $P=x+y+\frac{6}{x}+\frac{24}{y}\geq 2\sqrt{6}+4\sqrt{6}=6\sqrt{6}.$ Dấu $"="$ xảy ra khi $x=\sqrt{6}, y=2\sqrt{6}.$ Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $6\sqrt{6}$ đạt được khi $x=\sqrt{6}, y=2\sqrt{6}.$