Một miếng bìa có dạng hình tròn bán kính 3dm, bạn Hằng cần cắt ra một hình chữ nhật có bốn đỉnh thuộc đường tròn xác định đường biên xung quanh của tấm bìa. Diện tích tấm bìa được cắt ra lớn nhất bao n...

Để tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật có bốn đỉnh thuộc đường tròn, ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy để giải quyết bài toán này. Giả sử hình chữ nhật có chiều dài là \(a\) và chiều rộng là \(b\). Khi đó, các đỉnh của hình chữ nhật nằm trên đường tròn có bán kính 3dm, nghĩa là: \[ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = 3^2 \] Từ đó, ta có: \[ \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} = 9 \] \[ a^2 + b^2 = 36 \] Diện tích của hình chữ nhật là \(A = a \times b\). Để tìm giá trị lớn nhất của \(A\), ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy: \[ (a^2 + b^2) \geq 2ab \] Thay \(a^2 + b^2 = 36\) vào, ta có: \[ 36 \geq 2ab \] \[ 18 \geq ab \] Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là 18 dm\(^2\). Giá trị này đạt được khi \(a = b\), tức là hình chữ nhật trở thành hình vuông. Khi đó, từ phương trình \(a^2 + b^2 = 36\), ta có: \[ 2a^2 = 36 \] \[ a^2 = 18 \] \[ a = b = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \] Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là 18 dm\(^2\), đạt được khi hình chữ nhật là hình vuông với cạnh bằng \(3\sqrt{2}\) dm.