Câu $\rm 15.$ Câu 15. Trong năm đầu tiên đi làm, anh An nhận lương 15 triệu đồng mỗi tháng. Cứ sau mỗi năm,,mức lương hằng tháng của anh được tăng thêm 20% so với năm trước. Toàn bộ phần tiền tăng thêm,so với năm liền kề trước đó, anh An đều tiết kiệm để mua ô tô. Hỏi sau 10 năm, số tiền tiết kiệm được,của anh An có đủ để mua chiếc ô tô trị giá 800 triệu đồng hay không?

Question

Accepted Answer

GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN TÍNH TIỀN TIẾT KIỆM1. Phân tích Dữ liệuLương tháng ban đầu (Năm 1, $L_1$): 15 triệu đồng.Tỷ lệ tăng lương hàng năm ($r$): $20\% = 0.2$.Tiền tiết kiệm ($S$): Toàn bộ phần tiền tăng thêm so với năm liền kề trước đó (nhân với 12 tháng).Thời gian: 10 năm.Giá ô tô: 800 triệu đồng.2. Thiết lập Công thức Tiết kiệmTiền lương hàng tháng của anh An trong năm thứ $n$ là $L_n$. $L_n = L_1 \cdot (1 + r)^{n-1}$ Tiền lương tăng thêm mỗi tháng trong năm thứ $n$ so với năm $n-1$ là $\Delta L_n$: $\Delta L_n = L_n - L_{n-1}$ $\Delta L_n = L_1 \cdot (1.2)^{n-1} - L_1 \cdot (1.2)^{n-2}$ $\Delta L_n = L_1 \cdot (1.2)^{n-2} \cdot [1.2 - 1] = L_1 \cdot 0.2 \cdot (1.2)^{n-2}$ Tiền tiết kiệm được trong năm thứ $n$ ($S_n$, tính bằng triệu đồng): $S_n = 12 \cdot \Delta L_n$ $S_n = 12 \cdot (15 \cdot 0.2) \cdot (1.2)^{n-2}$ $S_n = 36 \cdot (1.2)^{n-2}$ Lưu ý: Tiền tiết kiệm bắt đầu từ Năm 2 ($n=2$) đến Năm 10 ($n=10$).3. Tính Tổng số tiền Tiết kiệm sau 10 năm ($S_{Tổng}$)Tổng tiền tiết kiệm là tổng của $S_n$ từ $n=2$ đến $n=10$ (tức là có $10-2+1 = 9$ năm tiết kiệm). $S_{Tổng} = S_2 + S_3 + \dots + S_{10}$ Đặt $k = n-2$. Khi $n=2, k=0$. Khi $n=10, k=8$. $S_{Tổng} = \sum_{k=0}^{8} 36 \cdot (1.2)^k$ $S_{Tổng} = 36 \cdot [ (1.2)^0 + (1.2)^1 + \dots + (1.2)^8 ]$ Biểu thức trong ngoặc là tổng của Cấp số nhân với:Số hạng đầu ($a$): $(1.2)^0 = 1$Công bội ($q$): $1.2$Số số hạng ($N$): 9Áp dụng công thức tổng cấp số nhân $G_N = a \cdot \frac{q^N - 1}{q - 1}$: $G_9 = 1 \cdot \frac{(1.2)^9 - 1}{1.2 - 1} = \frac{(1.2)^9 - 1}{0.2}$ Thực hiện tính toán:$(1.2)^9 \approx 5.15978$$G_9 \approx \frac{5.15978 - 1}{0.2} = \frac{4.15978}{0.2} = 20.7989$Tổng tiền tiết kiệm:$$S_{Tổng} = 36 \cdot G_9 \approx 36 \cdot 20.7989 \approx 748.76 ext{ (triệu đồng)}$$4. Kết luậnTổng số tiền tiết kiệm: $748.76$ triệu đồng.Giá ô tô: $800$ triệu đồng.Vì $748.76 ext{ triệu đồng} < 800 ext{ triệu đồng}$, số tiền tiết kiệm được của anh An không đủ để mua chiếc ô tô trị giá 800 triệu đồng sau 10 năm.