Giải bài thi và trình bày như bài thi giữa kì

Để tính số tiền gia đình ông An phải đóng trong tháng 1, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính giá của mỗi số ở mỗi bậc. 2. Tính số tiền gia đình ông An phải đóng cho mỗi bậc. 3. Cộng tất cả số tiền lại để tìm tổng số tiền gia đình ông An phải đóng. Bước 1: Tính giá của mỗi số ở mỗi bậc. - Bậc 1: Giá của mỗi số là 1500 đồng. - Bậc 2: Giá của mỗi số tăng 2,5% so với giá của mỗi số ở bậc 1. Giá của mỗi số ở bậc 2 là: 1500 + 1500 2,5% = 1500 + 1500 0,025 = 1500 + 37,5 = 1537,5 đồng. - Bậc 3: Giá của mỗi số tăng 2,5% so với giá của mỗi số ở bậc 2. Giá của mỗi số ở bậc 3 là: 1537,5 + 1537,5 2,5% = 1537,5 + 1537,5 0,025 = 1537,5 + 38,4375 = 1575,9375 đồng. Bước 2: Tính số tiền gia đình ông An phải đóng cho mỗi bậc. - Bậc 1: Gia đình ông An sử dụng hết 10 số trong tháng 1. Số tiền gia đình ông An phải đóng cho bậc 1 là: 10 1500 = 15000 đồng. - Bậc 2: Gia đình ông An sử dụng hết 10 số trong tháng 1. Số tiền gia đình ông An phải đóng cho bậc 2 là: 10 1537,5 = 15375 đồng. - Bậc 3: Gia đình ông An sử dụng hết 10 số trong tháng 1. Số tiền gia đình ông An phải đóng cho bậc 3 là: 10 1575,9375 = 15759,375 đồng. Bước 3: Cộng tất cả số tiền lại để tìm tổng số tiền gia đình ông An phải đóng. Tổng số tiền gia đình ông An phải đóng trong tháng 1 là: 15000 + 15375 + 15759,375 = 46134,375 đồng. Vậy, gia đình ông An phải đóng 46134,375 đồng trong tháng 1. Câu 7: Để tìm dao động tổng hợp \( x(t) = x_1(t) + x_2(t) \), ta sẽ cộng hai phương trình dao động \( x_1(t) \) và \( x_2(t) \). Phương trình dao động của hai vật: \[ x_1(t) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{3} t + \frac{\pi}{6}\right) \] \[ x_2(t) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{3} t - \frac{\pi}{3}\right) \] Ta sử dụng công thức cộng cosin để biến đổi: \[ \cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \] \[ \cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b \] Áp dụng vào \( x_1(t) \): \[ x_1(t) = 2 \left[ \cos\left(\frac{\pi}{3} t\right) \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{3} t\right) \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \right] \] \[ = 2 \left[ \cos\left(\frac{\pi}{3} t\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin\left(\frac{\pi}{3} t\right) \cdot \frac{1}{2} \right] \] \[ = \sqrt{3} \cos\left(\frac{\pi}{3} t\right) - \sin\left(\frac{\pi}{3} t\right) \] Áp dụng vào \( x_2(t) \): \[ x_2(t) = 2 \left[ \cos\left(\frac{\pi}{3} t\right) \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{3} t\right) \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \right] \] \[ = 2 \left[ \cos\left(\frac{\pi}{3} t\right) \cdot \frac{1}{2} + \sin\left(\frac{\pi}{3} t\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right] \] \[ = \cos\left(\frac{\pi}{3} t\right) + \sqrt{3} \sin\left(\frac{\pi}{3} t\right) \] Cộng \( x_1(t) \) và \( x_2(t) \): \[ x(t) = x_1(t) + x_2(t) \] \[ = \left( \sqrt{3} \cos\left(\frac{\pi}{3} t\right) - \sin\left(\frac{\pi}{3} t\right) \right) + \left( \cos\left(\frac{\pi}{3} t\right) + \sqrt{3} \sin\left(\frac{\pi}{3} t\right) \right) \] \[ = (\sqrt{3} + 1) \cos\left(\frac{\pi}{3} t\right) + (-1 + \sqrt{3}) \sin\left(\frac{\pi}{3} t\right) \] Biến đổi thành dạng \( x(t) = A \cos\left(\frac{\pi}{3} t + \varphi\right) \): \[ A = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2 + (-1 + \sqrt{3})^2} \] \[ = \sqrt{(3 + 2\sqrt{3} + 1) + (1 - 2\sqrt{3} + 3)} \] \[ = \sqrt{4 + 4} \] \[ = \sqrt{8} \] \[ = 2\sqrt{2} \] Pha ban đầu \( \varphi \): \[ \tan \varphi = \frac{-1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} \] \[ = \frac{(-1 + \sqrt{3})(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} \] \[ = \frac{-\sqrt{3} + 1 + 3 - \sqrt{3}}{3 - 1} \] \[ = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} \] \[ = 2 - \sqrt{3} \] Do đó, \( \varphi = \arctan(2 - \sqrt{3}) \). Vậy, phương trình dao động tổng hợp là: \[ x(t) = 2\sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{3} t + \arctan(2 - \sqrt{3})\right) \] Biên độ \( A = 2\sqrt{2} \) cm và pha ban đầu \( \varphi = \arctan(2 - \sqrt{3}) \). Câu 8: Để tính $\sin 2\alpha$, ta sử dụng công thức nhân đôi cho sin: \[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \] Trước tiên, ta cần tìm $\sin \alpha$. Biết rằng $\cos \alpha = -\frac{1}{2}$ và góc $\alpha$ nằm trong khoảng $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, ta có thể xác định góc $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ hai. Trong góc phần tư này, $\sin \alpha$ là số dương. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Thay $\cos \alpha = -\frac{1}{2}$ vào, ta có: \[ \sin^2 \alpha + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 \alpha + \frac{1}{4} = 1 \] \[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \] \[ \sin \alpha = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Vì $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ hai, nên $\sin \alpha$ là dương, do đó $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Bây giờ, thay $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ và $\cos \alpha = -\frac{1}{2}$ vào công thức $\sin 2\alpha$: \[ \sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ \sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot -\frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] Vậy, $\sin 2\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Câu 9: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm ngày mà hàm số \( d(t) = 3\sin\left[\frac{\pi}{182}(t-180)\right] \) đạt giá trị lớn nhất, vì đó là ngày có nhiều ánh sáng mặt trời nhất trong năm. Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) Hàm số \( d(t) = 3\sin\left[\frac{\pi}{182}(t-180)\right] \) là hàm số lượng giác, và hàm số sin xác định với mọi giá trị của \( t \). Do đó, điều kiện xác định của hàm số này là \( 0 < t \leq 365 \). Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số Hàm số \( d(t) = 3\sin\left[\frac{\pi}{182}(t-180)\right] \) có dạng \( A\sin(Bt + C) \), trong đó \( A = 3 \), \( B = \frac{\pi}{182} \), và \( C = -\frac{180\pi}{182} \). Giá trị lớn nhất của hàm số sin là 1. Do đó, giá trị lớn nhất của \( d(t) \) là: \[ d(t)_{\text{max}} = 3 \times 1 = 3 \] Hàm số sin đạt giá trị lớn nhất khi: \[ \sin\left[\frac{\pi}{182}(t-180)\right] = 1 \] Điều này xảy ra khi: \[ \frac{\pi}{182}(t-180) = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Giải phương trình: \[ \frac{\pi}{182}(t-180) = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \] Chia cả hai vế cho \(\pi\): \[ \frac{t-180}{182} = \frac{1}{2} + 2k \] Nhân cả hai vế với 182: \[ t - 180 = 91 + 364k \] Suy ra: \[ t = 271 + 364k \] Bước 3: Xác định giá trị \( t \) trong khoảng \( 0 < t \leq 365 \) Với \( k = 0 \): \[ t = 271 \] Với \( k = 1 \): \[ t = 271 + 364 = 635 \quad (\text{không thỏa mãn } t \leq 365) \] Với \( k = -1 \): \[ t = 271 - 364 = -93 \quad (\text{không thỏa mãn } t > 0) \] Do đó, giá trị \( t \) duy nhất thỏa mãn điều kiện là \( t = 271 \). Kết luận An đến thành phố vào ngày thứ 271 trong năm, đó là ngày Hạ Chí, ngày có nhiều ánh sáng mặt trời nhất trong năm của thành phố đó.