Trình bày khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $a)~y=x^3+3x^2+3x+2$,$b)~y=\frac{-x+2}{2x+3}$

Question

Accepted Answer

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số a) Hàm số $ y = x^3 + 3x^2 + 3x + 2 $ Bước 1: Tập xác định Hàm số $ y = x^3 + 3x^2 + 3x + 2 $ là đa thức, do đó tập xác định là: $$ D = \mathbb{R} $$ Bước 2: Giới hạn tại vô cực $$ \lim_{x \to -\infty} y = -\infty $$ $$ \lim_{x \to +\infty} y = +\infty $$ Bước 3: Đạo hàm - Đạo hàm bậc nhất: $$ y' = 3x^2 + 6x + 3 $$ - Giải phương trình $ y' = 0 $: $$ 3x^2 + 6x + 3 = 0 $$ $$ x^2 + 2x + 1 = 0 $$ $$ (x + 1)^2 = 0 $$ $$ x = -1 $$ Bước 4: Xét dấu đạo hàm - Khi $ x < -1 $, $ y' > 0 $ - Khi $ x > -1 $, $ y' > 0 $ Do đó, hàm số đồng biến trên toàn bộ miền xác định. Bước 5: Cực trị Hàm số không có điểm cực trị vì đạo hàm không đổi dấu. Bước 6: Đạo hàm bậc hai $$ y'' = 6x + 6 $$ - Giải phương trình $ y'' = 0 $: $$ 6x + 6 = 0 $$ $$ x = -1 $$ Bước 7: Điểm uốn - Khi $ x = -1 $, $ y = (-1)^3 + 3(-1)^2 + 3(-1) + 2 = -1 + 3 - 3 + 2 = 1 $ - Điểm uốn là $ (-1, 1) $. Bước 8: Bảng biến thiên | $ x $ | $ -\infty $ | $ -1 $ | $ +\infty $ | |---------|----------------|------------|----------------| | $ y' $ | $ + $ | $ 0 $ | $ + $ | | $ y $ | $ -\infty $ | $ 1 $ | $ +\infty $ | Bước 9: Đồ thị - Đồ thị đi qua điểm $ (-1, 1) $. - Đồng biến trên toàn bộ miền xác định. b) Hàm số $ y = \frac{-x + 2}{2x + 3} $ Bước 1: Tập xác định $$ 2x + 3 \neq 0 $$ $$ x \neq -\frac{3}{2} $$ $$ D = \mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{3}{2} \right\} $$ Bước 2: Giới hạn tại vô cực $$ \lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x + 2}{2x + 3} = -\frac{1}{2} $$ $$ \lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} \frac{-x + 2}{2x + 3} = -\frac{1}{2} $$ Bước 3: Đạo hàm - Đạo hàm bậc nhất: $$ y' = \frac{(2x + 3)(-1) - (-x + 2)(2)}{(2x + 3)^2} $$ $$ y' = \frac{-2x - 3 + 2x - 4}{(2x + 3)^2} $$ $$ y' = \frac{-7}{(2x + 3)^2} $$ Bước 4: Xét dấu đạo hàm - $ y' < 0 $ trên toàn bộ miền xác định ngoại trừ $ x = -\frac{3}{2} $. Bước 5: Cực trị Hàm số không có điểm cực trị vì đạo hàm không đổi dấu. Bước 6: Tiệm cận - Tiệm cận đứng: $ x = -\frac{3}{2} $ - Tiệm cận ngang: $ y = -\frac{1}{2} $ Bước 7: Bảng biến thiên | $ x $ | $ -\infty $ | $ -\frac{3}{2} $ | $ +\infty $ | |---------|----------------|----------------------|----------------| | $ y' $ | $ - $ | $ - $ | $ - $ | | $ y $ | $ -\frac{1}{2} $ | $ -\infty $ | $ -\frac{1}{2} $ | Bước 8: Đồ thị - Đồ thị có tiệm cận đứng $ x = -\frac{3}{2} $ và tiệm cận ngang $ y = -\frac{1}{2} $. - Hàm số nghịch biến trên toàn bộ miền xác định ngoại trừ $ x = -\frac{3}{2} $.