giải bài tập

Câu 17: Để tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\), ta sử dụng công thức: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2 \] Với \(\overrightarrow{u} = (3; 0; 1)\) và \(\overrightarrow{v} = (2; 1; 0)\), ta có: - \(x_1 = 3\), \(y_1 = 0\), \(z_1 = 1\) - \(x_2 = 2\), \(y_2 = 1\), \(z_2 = 0\) Áp dụng công thức, ta tính: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 3 \cdot 2 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \] \[ = 6 + 0 + 0 \] \[ = 6 \] Vậy, tích vô hướng \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 6\). Do đó, đáp án đúng là \(B.~\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 6\). Câu 18: Để tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\), ta sử dụng công thức: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 \] Với \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{j}\), ta có tọa độ của \(\overrightarrow{u}\) là \((1, 3)\). Với \(\overrightarrow{v} = (2, -1)\), ta có tọa độ của \(\overrightarrow{v}\) là \((2, -1)\). Áp dụng công thức trên, ta có: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 1 \cdot 2 + 3 \cdot (-1) = 2 - 3 = -1 \] Vậy, tích vô hướng \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = -1\). Do đó, đáp án đúng là \(A.~\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = -1\). Câu 19: Để giải bài toán này, ta cần tính tích vô hướng của hai véc tơ. Trước tiên, ta cần tính tổng của hai véc tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\). Cho hai véc tơ: \[ \overrightarrow{a} = (1; -2; 3) \] \[ \overrightarrow{b} = (-2; 1; 2) \] Tổng của hai véc tơ \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) là: \[ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (1 + (-2); -2 + 1; 3 + 2) = (-1; -1; 5) \] Tiếp theo, ta tính tích vô hướng \((\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{b}\): \[ (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{b} = (-1; -1; 5) \cdot (-2; 1; 2) \] Tích vô hướng của hai véc tơ \((x_1, y_1, z_1)\) và \((x_2, y_2, z_2)\) được tính bằng: \[ x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2 \] Áp dụng công thức trên, ta có: \[ (-1) \cdot (-2) + (-1) \cdot 1 + 5 \cdot 2 = 2 - 1 + 10 = 11 \] Vậy, tích vô hướng \((\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{b}\) bằng 11. Do đó, đáp án đúng là C. 11. Câu 20: Tích vô hướng của hai vector $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ được tính theo công thức: \[ \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 \] Trong đó, $\overrightarrow u = (u_1, u_2, u_3)$ và $\overrightarrow v = (v_1, v_2, v_3)$. Áp dụng vào bài toán này, ta có: \[ \overrightarrow u = (2, -1, 1) \quad \text{và} \quad \overrightarrow v = (0, -3, -m) \] Do đó, tích vô hướng của $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ là: \[ \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 2 \cdot 0 + (-1) \cdot (-3) + 1 \cdot (-m) \] Ta có: \[ \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 0 + 3 - m = 3 - m \] Theo đề bài, tích vô hướng $\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 1$. Do đó: \[ 3 - m = 1 \] Giải phương trình này để tìm giá trị của $m$: \[ 3 - m = 1 \\ -m = 1 - 3 \\ -m = -2 \\ m = 2 \] Vậy giá trị của $m$ là: \[ m = 2 \] Đáp án đúng là: \[ B.~m=2 \] Câu 21: Để tính độ dài của vectơ tổng $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$, ta sử dụng công thức: \[ |\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}| = \sqrt{|\overrightarrow{u}|^2 + |\overrightarrow{v}|^2 + 2 |\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}| \cos \theta} \] Trong đó: - $|\overrightarrow{u}| = 2$ - $|\overrightarrow{v}| = 5$ - Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là $120^\circ$, do đó $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$. Thay các giá trị này vào công thức, ta có: \[ |\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}| = \sqrt{2^2 + 5^2 + 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} \] Tính từng phần: - $2^2 = 4$ - $5^2 = 25$ - $2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -10$ Do đó: \[ |\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}| = \sqrt{4 + 25 - 10} = \sqrt{19} \] Vậy, độ dài của vectơ $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ là $\sqrt{19}$. Đáp án đúng là A. $\sqrt{19}$. Câu 22: Để tính $\cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})$, ta sử dụng công thức: \[ \cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\|\overrightarrow{a}\| \cdot \|\overrightarrow{b}\|} \] Bước 1: Tính tích vô hướng $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ Cho $\overrightarrow{a} = (2, 1, 0)$ và $\overrightarrow{b} = (-1, 0, -2)$, ta có: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-2) = -2 + 0 + 0 = -2 \] Bước 2: Tính độ dài của các vectơ $\|\overrightarrow{a}\|$ và $\|\overrightarrow{b}\|$ Độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$ là: \[ \|\overrightarrow{a}\| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 1 + 0} = \sqrt{5} \] Độ dài của vectơ $\overrightarrow{b}$ là: \[ \|\overrightarrow{b}\| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 0 + 4} = \sqrt{5} \] Bước 3: Tính $\cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})$ Thay các giá trị đã tính vào công thức: \[ \cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = \frac{-2}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{-2}{5} \] Vậy, $\cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = -\frac{2}{5}$. Đáp án đúng là: $B.~\cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = -\frac{2}{5}$. Câu 23: Để tìm góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{i}\) và \(\overrightarrow{u} = (-\sqrt{3}; 0; 1)\), ta sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{u}}{\|\overrightarrow{i}\| \cdot \|\overrightarrow{u}\|} \] Bước 1: Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{u}\) Vì \(\overrightarrow{i} = (1; 0; 0)\), nên: \[ \overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{u} = 1 \cdot (-\sqrt{3}) + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = -\sqrt{3} \] Bước 2: Tính độ dài của các vectơ \(\|\overrightarrow{i}\|\) và \(\|\overrightarrow{u}\|\) - Độ dài của \(\overrightarrow{i}\): \[ \|\overrightarrow{i}\| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1 \] - Độ dài của \(\overrightarrow{u}\): \[ \|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 \] Bước 3: Tính \(\cos \theta\) \[ \cos \theta = \frac{-\sqrt{3}}{1 \cdot 2} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] Bước 4: Xác định góc \(\theta\) Dựa vào giá trị \(\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), ta có: \[ \theta = 150^\circ \] Vậy, góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{i}\) và \(\overrightarrow{u}\) là \(150^\circ\). Do đó, đáp án đúng là \(C.~150^\circ\). Câu 24: Để tìm côsin của góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\), ta sử dụng công thức: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\|\overrightarrow{a}\| \cdot \|\overrightarrow{b}\|} \] Bước 1: Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\). \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (-3) \cdot 5 + 4 \cdot 0 + 0 \cdot 12 = -15 + 0 + 0 = -15 \] Bước 2: Tính độ dài của \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\). \[ \|\overrightarrow{a}\| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5 \] \[ \|\overrightarrow{b}\| = \sqrt{5^2 + 0^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 0 + 144} = \sqrt{169} = 13 \] Bước 3: Tính \(\cos \theta\). \[ \cos \theta = \frac{-15}{5 \cdot 13} = \frac{-15}{65} = -\frac{3}{13} \] Vậy côsin của góc giữa \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là \(-\frac{3}{13}\). Kết luận: Đáp án đúng là \(D.~-\frac{3}{13}.\) Câu 25: Để tìm góc giữa hai véctơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\), ta sử dụng công thức: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{\|\overrightarrow{u}\| \cdot \|\overrightarrow{v}\|} \] Bước 1: Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}\). \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = (-1) \cdot 0 + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 = 0 - 1 + 0 = -1 \] Bước 2: Tính độ dài của \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\). \[ \|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \] \[ \|\overrightarrow{v}\| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1 \] Bước 3: Thay vào công thức tính \(\cos \theta\). \[ \cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] Bước 4: Xác định góc \(\theta\). Ta biết rằng \(\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). Do đó, góc giữa hai véctơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) là \(135^\circ\). Vậy đáp án đúng là \(C.~135^0.\) Câu 26: Để hai véc tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) vuông góc với nhau, tích vô hướng của chúng phải bằng 0. Tích vô hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow{a} = (2; 1; -1)\) và \(\overrightarrow{b} = (1; 3; m)\) được tính như sau: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + (-1) \cdot m \] \[ = 2 + 3 - m \] \[ = 5 - m \] Để \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) vuông góc, ta có phương trình: \[ 5 - m = 0 \] Giải phương trình này, ta tìm được: \[ m = 5 \] Vậy giá trị của \(m\) để \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) vuông góc là \(m = 5\). Do đó, đáp án đúng là \(B.~m=5\). Câu 27: Để tìm giá trị của \( m \) sao cho góc giữa hai véc tơ \(\overrightarrow{u} = (1; 1; -2)\) và \(\overrightarrow{v} = (1; 0; m)\) bằng \(45^\circ\), ta sử dụng công thức tính góc giữa hai véc tơ: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{\|\overrightarrow{u}\| \cdot \|\overrightarrow{v}\|} \] Với \(\theta = 45^\circ\), ta có \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Bước 1: Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}\): \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + (-2) \cdot m = 1 - 2m \] Bước 2: Tính độ dài của các véc tơ \(\|\overrightarrow{u}\|\) và \(\|\overrightarrow{v}\|\): \[ \|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \] \[ \|\overrightarrow{v}\| = \sqrt{1^2 + 0^2 + m^2} = \sqrt{1 + m^2} \] Bước 3: Áp dụng công thức cosin: \[ \frac{1 - 2m}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Bước 4: Giải phương trình: Nhân chéo và bình phương hai vế để loại căn: \[ (1 - 2m)^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \cdot 6 \cdot (1 + m^2) \] \[ (1 - 2m)^2 = \frac{6}{2} \cdot (1 + m^2) \] \[ (1 - 2m)^2 = 3(1 + m^2) \] Khai triển và giải phương trình: \[ 1 - 4m + 4m^2 = 3 + 3m^2 \] \[ 4m^2 - 3m^2 - 4m + 1 - 3 = 0 \] \[ m^2 - 4m - 2 = 0 \] Bước 5: Giải phương trình bậc hai: Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = -2\): \[ m = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} \] \[ m = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} \] \[ m = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} \] \[ m = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} \] \[ m = 2 \pm \sqrt{6} \] Vậy các giá trị của \( m \) để góc giữa \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) bằng \(45^\circ\) là \(m = 2 + \sqrt{6}\) hoặc \(m = 2 - \sqrt{6}\).