giải giúp tôi

Để giải quyết các câu hỏi này, chúng ta cần sử dụng kiến thức về hình học không gian và tính chất của trọng tâm trong hình học. Câu hỏi 1: Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) với đáy \(ABCD\) là hình bình hành và tâm \(O\). Ta cần tìm véc tơ \(2\overrightarrow{AO}\). Phân tích: - Trong hình bình hành, tâm \(O\) là trung điểm của hai đường chéo. Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{AO} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} \] - Suy ra: \[ 2\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AC} \] Kết luận: Đáp án đúng là \(A.~\overrightarrow{AC}.\) Câu hỏi 2: Cho biết \(G\) là trọng tâm của tứ diện \(ABCD\). Ta cần xác định mệnh đề đúng. Phân tích: - Trọng tâm \(G\) của tứ diện \(ABCD\) có tính chất: \[ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0} \] Điều này xuất phát từ định nghĩa của trọng tâm trong không gian, tương tự như trọng tâm của tam giác trong mặt phẳng. Kết luận: Đáp án đúng là \(B.~\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow0\). Vậy, đáp án cho câu hỏi 1 là \(A\) và cho câu hỏi 2 là \(B\). Câu 9: Để giải bài toán này, ta cần tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AD}\) trong hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). 1. Xác định tọa độ các điểm: Giả sử điểm \(A\) có tọa độ \((0, 0, 0)\). Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương có cạnh bằng \(a\), ta có: - \(B\) có tọa độ \((a, 0, 0)\) - \(D\) có tọa độ \((0, a, 0)\) 2. Xác định vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AD}\): - Vectơ \(\overrightarrow{AB} = (a - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (a, 0, 0)\) - Vectơ \(\overrightarrow{AD} = (0 - 0, a - 0, 0 - 0) = (0, a, 0)\) 3. Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}\): Tích vô hướng của hai vectơ \((x_1, y_1, z_1)\) và \((x_2, y_2, z_2)\) được tính bằng công thức: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2 \] Áp dụng công thức trên, ta có: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = a \cdot 0 + 0 \cdot a + 0 \cdot 0 = 0 \] 4. Kết luận: Tích vô hướng \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}\) bằng \(0\). Do đó, đáp án đúng là \(B. 0\). Câu 10: Để xác định đẳng thức nào sai, ta cần phân tích từng đẳng thức một cách chi tiết. A. \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA^\prime}\). - Trong hình hộp, \(\overrightarrow{AC}\) là đường chéo của mặt phẳng đáy ABCD. Theo quy tắc hình học, \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\). Tuy nhiên, \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}\) trong hình hộp. Do đó, \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\). - Đẳng thức này thêm \(\overrightarrow{AA^\prime}\), điều này không đúng vì \(\overrightarrow{AA^\prime}\) là đường thẳng đứng từ A đến A', không liên quan đến \(\overrightarrow{AC}\) trong mặt phẳng đáy. B. \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{D^\prime C}\). - Trong hình hộp, \(\overrightarrow{AB}\) là cạnh của đáy, và \(\overrightarrow{D^\prime C}\) là cạnh trên của mặt phẳng trên cùng. Do đó, \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{D^\prime C}\) là hai cạnh song song và bằng nhau. Đẳng thức này đúng. C. \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA}^2 = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD}\). - Đẳng thức này có vẻ không hợp lý vì \(\overrightarrow{AA}^2\) và \(\overrightarrow{DD}\) không phải là các vector hợp lệ. Có thể đây là lỗi đánh máy hoặc ký hiệu không đúng. Đẳng thức này sai. D. \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CC} = \overrightarrow{AD^2} + \overrightarrow{DC^2}\). - Tương tự như trên, \(\overrightarrow{CC}\) và \(\overrightarrow{AD^2}\), \(\overrightarrow{DC^2}\) không phải là các vector hợp lệ. Đẳng thức này cũng sai. Kết luận: Đẳng thức sai là A, C và D. Trong đó, đẳng thức A là sai do thêm \(\overrightarrow{AA^\prime}\) không hợp lý. Đẳng thức C và D có ký hiệu không hợp lệ. Câu 11: Để xác định mệnh đề nào sai, ta cần xem xét từng mệnh đề một cách chi tiết. 1. Mệnh đề A: \(\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD})\). Trong hình tứ diện, trọng tâm \(G\) được xác định bởi công thức: \[ \overrightarrow{OG} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}) \] Từ đó, ta có: \[ \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OA} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}) - \overrightarrow{OA} \] \[ = \frac{1}{4}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} - 3\overrightarrow{OA}) \] Mệnh đề A không đúng với công thức trên, vì không có công thức nào cho \(\overrightarrow{AG}\) là \(\frac{2}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD})\). 2. Mệnh đề B: \(\overrightarrow{AG} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD})\). Như đã tính ở trên, \(\overrightarrow{AG} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} - 3\overrightarrow{OA})\), mệnh đề này cũng không đúng. 3. Mệnh đề C: \(\overrightarrow{OG} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD})\). Đây là công thức chính xác cho trọng tâm của tứ diện, nên mệnh đề này đúng. 4. Mệnh đề D: \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}\). Từ định nghĩa của trọng tâm, tổng các vectơ từ trọng tâm đến các đỉnh của tứ diện bằng vectơ không, nên mệnh đề này đúng. Kết luận: Mệnh đề sai là mệnh đề A. Câu 12: Để xác định điều kiện cần và đủ để bốn điểm \( A, B, C, D \) tạo thành một hình bình hành, ta cần xem xét các đặc điểm của hình bình hành trong không gian vectơ. Một tứ giác \( ABCD \) là hình bình hành khi và chỉ khi hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Điều này có nghĩa là: \[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} \] Điều này có nghĩa là tổng của các vectơ từ một cặp đỉnh đối diện bằng tổng của các vectơ từ cặp đỉnh đối diện còn lại. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn: A. \(\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}\) Điều kiện này không đảm bảo rằng hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, vì nó chỉ liên quan đến một nửa của các vectơ \(\overrightarrow{OB}\) và \(\overrightarrow{OD}\). B. \(\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}\) Tương tự như trên, điều kiện này cũng không đảm bảo tính chất của hình bình hành. C. \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}\) Điều kiện này chính xác là điều kiện cần và đủ để \( ABCD \) là hình bình hành, vì nó đảm bảo rằng tổng của các vectơ từ một cặp đỉnh đối diện bằng tổng của các vectơ từ cặp đỉnh đối diện còn lại, tức là hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. D. \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}\) Điều kiện này không liên quan trực tiếp đến việc hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, mà chỉ đơn thuần là tổng của tất cả các vectơ bằng không, điều này không đảm bảo hình bình hành. Vậy, điều kiện cần và đủ để \( A, B, C, D \) tạo thành hình bình hành là: C. \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}\) Câu 13: Để giải quyết các bài toán liên quan đến vectơ trong hình lập phương, trước tiên chúng ta cần xác định các vectơ cơ bản trong không gian của hình lập phương. Giả sử hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh là \( a \). a) Vectơ \(\overrightarrow{A^\prime C}-\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\) - Vectơ \(\overrightarrow{A^\prime C}\) có thể được biểu diễn dưới dạng: \[ \overrightarrow{A^\prime C} = \overrightarrow{A^\prime A} + \overrightarrow{AC} \] Trong đó, \(\overrightarrow{A^\prime A} = -a\overrightarrow{k}\) và \(\overrightarrow{AC} = a\overrightarrow{i} + a\overrightarrow{j}\). - Vectơ \(\overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}\). - Vectơ \(\overrightarrow{AB} = a\overrightarrow{i}\) và \(\overrightarrow{AD} = a\overrightarrow{j}\). - Do đó, \[ \overrightarrow{A^\prime C} - \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{A^\prime C} = -a\overrightarrow{k} + a\overrightarrow{i} + a\overrightarrow{j} \] và \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = a\overrightarrow{i} + a\overrightarrow{j} \] - Như vậy, \(\overrightarrow{A^\prime C} - \overrightarrow{AA} \neq \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\). b) Vectơ \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AA}+\overrightarrow{B^\prime C^\prime}\) - Vectơ \(\overrightarrow{BC} = a\overrightarrow{j}\). - Vectơ \(\overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}\). - Vectơ \(\overrightarrow{B^\prime C^\prime} = a\overrightarrow{j}\). - Do đó, \[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AA} + \overrightarrow{B^\prime C^\prime} = \overrightarrow{0} + a\overrightarrow{j} = a\overrightarrow{j} \] - Như vậy, \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AA} + \overrightarrow{B^\prime C^\prime}\) là đúng. c) Vectơ \(\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{OA}\) - Gọi \( O \) là giao điểm của \( BD \) và \( AC \), do đó \( O \) là trung điểm của \( AC \). - Vectơ \(\overrightarrow{CA} = -a\overrightarrow{i} - a\overrightarrow{j}\). - Vectơ \(\overrightarrow{OA} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}(a\overrightarrow{i} + a\overrightarrow{j}) = \frac{a}{2}\overrightarrow{i} + \frac{a}{2}\overrightarrow{j}\). - Do đó, \[ \overrightarrow{CO} = \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{OA} = (-a\overrightarrow{i} - a\overrightarrow{j}) - \left(\frac{a}{2}\overrightarrow{i} + \frac{a}{2}\overrightarrow{j}\right) \] \[ = -\frac{3a}{2}\overrightarrow{i} - \frac{3a}{2}\overrightarrow{j} \] - Như vậy, \(\overrightarrow{CO} = \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{OA}\) là đúng. d) \(\overrightarrow{A^\prime D}.\overrightarrow{A^\prime B}=0\) - Vectơ \(\overrightarrow{A^\prime D} = a\overrightarrow{j} - a\overrightarrow{k}\). - Vectơ \(\overrightarrow{A^\prime B} = a\overrightarrow{i} - a\overrightarrow{k}\). - Tích vô hướng: \[ \overrightarrow{A^\prime D} \cdot \overrightarrow{A^\prime B} = (a\overrightarrow{j} - a\overrightarrow{k}) \cdot (a\overrightarrow{i} - a\overrightarrow{k}) \] \[ = a^2(\overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{i}) - a^2(\overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{k}) - a^2(\overrightarrow{k} \cdot \overrightarrow{i}) + a^2(\overrightarrow{k} \cdot \overrightarrow{k}) \] \[ = 0 - 0 - 0 + a^2 = a^2 \] - Như vậy, \(\overrightarrow{A^\prime D} \cdot \overrightarrow{A^\prime B} \neq 0\), do đó kết luận này là sai. Tóm lại, các kết quả đúng là b) và c). Câu 14: Để xác định khẳng định nào đúng, chúng ta cần phân tích từng khẳng định một cách chi tiết. a) Khẳng định: Trong không gian lấy ba điểm \( A, B, C \) tùy ý ta luôn có \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}\). - Xét ba điểm \( A, B, C \) trong không gian. Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} \] \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} \] Do đó: \[ \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}) - (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}) = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C} = \overrightarrow{BC} \] - Vậy khẳng định a) là đúng. b) Khẳng định: Trong không gian cho hình bình hành \( ABCD \) thì \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BD}\). - Xét hình bình hành \( ABCD \), ta có: \[ \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} \] \[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} \] \[ \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{B} \] - Theo tính chất của hình bình hành, ta có \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\). Do đó: \[ \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} \] - Vậy khẳng định b) cũng là đúng. Kết luận: Cả hai khẳng định a) và b) đều đúng.