giup tui giai bai

Để chứng minh $G_1G_2$ song song với mặt phẳng $(ABC)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định trọng tâm $G_1$ và $G_2$: - Trọng tâm $G_1$ của tam giác $ABD$ là điểm chia các đường trung tuyến theo tỉ lệ $2:1$. Do đó, $G_1$ có tọa độ: \[ G_1 = \frac{1}{3}(A + B + D) \] - Tương tự, trọng tâm $G_2$ của tam giác $ACD$ là: \[ G_2 = \frac{1}{3}(A + C + D) \] 2. Tìm vectơ $G_1G_2$: - Vectơ $G_1G_2$ được tính bằng: \[ G_1G_2 = G_2 - G_1 = \frac{1}{3}(A + C + D) - \frac{1}{3}(A + B + D) = \frac{1}{3}(C - B) \] 3. Xác định mặt phẳng $(ABC)$: - Mặt phẳng $(ABC)$ có vectơ pháp tuyến là tích có hướng của hai vectơ bất kỳ không cùng phương trong mặt phẳng. Chọn hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AB} = B - A, \quad \overrightarrow{AC} = C - A \] - Vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ của mặt phẳng $(ABC)$ là: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \] 4. Chứng minh $G_1G_2$ song song với $(ABC)$: - Để $G_1G_2$ song song với mặt phẳng $(ABC)$, vectơ $G_1G_2$ phải vuông góc với vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$: \[ G_1G_2 \cdot \overrightarrow{n} = 0 \] - Từ $G_1G_2 = \frac{1}{3}(C - B)$, ta có: \[ \frac{1}{3}(C - B) \cdot \overrightarrow{n} = 0 \] - Điều này đúng vì $C - B$ là một vectơ nằm trong mặt phẳng $(ABC)$, do đó nó vuông góc với vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$. Kết luận: Đường thẳng $G_1G_2$ song song với mặt phẳng $(ABC)$.