Câu $\rm 76.$

Câu 76: Ta có: \(S_n=\frac{1}{1\sqrt{2}+2\sqrt{1}}+\frac{1}{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{n\sqrt{n+1}+(n+1)\sqrt{n}}\) Nhận thấy rằng mỗi hạng tử trong tổng trên có dạng: \(\frac{1}{k\sqrt{k+1}+(k+1)\sqrt{k}}\) Ta sẽ nhân cả tử số và mẫu số của phân số này với \(k\sqrt{k+1}-(k+1)\sqrt{k}\): \[ \begin{align} \frac{1}{k\sqrt{k+1}+(k+1)\sqrt{k}} &= \frac{k\sqrt{k+1}-(k+1)\sqrt{k}}{(k\sqrt{k+1})^2-((k+1)\sqrt{k})^2} \\ &= \frac{k\sqrt{k+1}-(k+1)\sqrt{k}}{k^2(k+1)-k(k+1)^2} \\ &= \frac{k\sqrt{k+1}-(k+1)\sqrt{k}}{k(k+1)(k-(k+1))} \\ &= \frac{k\sqrt{k+1}-(k+1)\sqrt{k}}{-k(k+1)} \\ &= \frac{(k+1)\sqrt{k}-k\sqrt{k+1}}{k(k+1)} \end{align} \] Do đó, ta có: \[ \begin{align} S_n &= \sum_{k=1}^{n} \frac{(k+1)\sqrt{k}-k\sqrt{k+1}}{k(k+1)} \\ &= \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{\sqrt{k}}{k} - \frac{\sqrt{k+1}}{k+1} \right) \\ &= \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{\sqrt{k}} - \frac{1}{\sqrt{k+1}} \right) \end{align} \] Dễ dàng nhận thấy rằng đây là một dãy số giảm dần và hội tụ về 0 khi \(n\) tiến đến vô cùng. Do đó, giới hạn của \(S_n\) khi \(n\) tiến đến vô cùng là: \[ \lim_{n \to \infty} S_n = 0 \] Vậy đáp án là: \[ \boxed{0} \]