Câu $\rm 78.$

Câu 78: Để tính giới hạn của \( S_n \) khi \( n \to \infty \), chúng ta cần hiểu rõ về dãy số \( S_n \). Trước tiên, hãy viết lại \( S_n \) dưới dạng tổng quát: \[ S_n = \sum_{k=3}^{n} \frac{1}{\binom{k}{3}} \] Bây giờ, chúng ta sẽ tìm công thức cho \( \binom{k}{3} \): \[ \binom{k}{3} = \frac{k!}{3!(k-3)!} = \frac{k(k-1)(k-2)}{6} \] Do đó, \[ \frac{1}{\binom{k}{3}} = \frac{6}{k(k-1)(k-2)} \] Vậy, \[ S_n = \sum_{k=3}^{n} \frac{6}{k(k-1)(k-2)} \] Tiếp theo, chúng ta sẽ phân tích tổng này. Chúng ta có thể viết lại mỗi hạng tử trong tổng dưới dạng phân số đơn giản hơn: \[ \frac{6}{k(k-1)(k-2)} = \frac{A}{k-2} + \frac{B}{k-1} + \frac{C}{k} \] Nhân cả hai vế với \( k(k-1)(k-2) \) để tìm \( A \), \( B \), và \( C \): \[ 6 = A(k-1)k + Bk(k-2) + C(k-1)(k-2) \] Bằng cách so sánh hệ số, chúng ta tìm được: \[ A = 1, \quad B = -3, \quad C = 3 \] Do đó, \[ \frac{6}{k(k-1)(k-2)} = \frac{1}{k-2} - \frac{3}{k-1} + \frac{3}{k} \] Vậy, \[ S_n = \sum_{k=3}^{n} \left( \frac{1}{k-2} - \frac{3}{k-1} + \frac{3}{k} \right) \] Chúng ta có thể tách tổng này thành ba tổng riêng lẻ: \[ S_n = \sum_{k=3}^{n} \frac{1}{k-2} - 3 \sum_{k=3}^{n} \frac{1}{k-1} + 3 \sum_{k=3}^{n} \frac{1}{k} \] Chuyển đổi chỉ số của các tổng: \[ \sum_{k=3}^{n} \frac{1}{k-2} = \sum_{j=1}^{n-2} \frac{1}{j} \] \[ \sum_{k=3}^{n} \frac{1}{k-1} = \sum_{j=2}^{n-1} \frac{1}{j} \] \[ \sum_{k=3}^{n} \frac{1}{k} = \sum_{j=3}^{n} \frac{1}{j} \] Do đó, \[ S_n = \sum_{j=1}^{n-2} \frac{1}{j} - 3 \sum_{j=2}^{n-1} \frac{1}{j} + 3 \sum_{j=3}^{n} \frac{1}{j} \] Kết hợp các tổng: \[ S_n = \left( \sum_{j=1}^{n-2} \frac{1}{j} \right) - 3 \left( \sum_{j=2}^{n-1} \frac{1}{j} \right) + 3 \left( \sum_{j=3}^{n} \frac{1}{j} \right) \] Rút gọn: \[ S_n = \left( \sum_{j=1}^{n-2} \frac{1}{j} \right) - 3 \left( \sum_{j=2}^{n-1} \frac{1}{j} \right) + 3 \left( \sum_{j=3}^{n} \frac{1}{j} \right) \] Cuối cùng, khi \( n \to \infty \), các tổng này hội tụ về hằng số: \[ \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{j=1}^{n-2} \frac{1}{j} - 3 \sum_{j=2}^{n-1} \frac{1}{j} + 3 \sum_{j=3}^{n} \frac{1}{j} \right) \] Do đó, \[ \lim_{n \to \infty} S_n = 1 \] Vậy, \[ \lim_{n \to \infty} S_n = 1 \]