Câu $\rm 81.$

Câu 81: Để giải bài toán này, ta cần hiểu rõ cách tính diện tích của các tam giác trong dãy và cách chúng liên quan với nhau. 1. Diện tích tam giác đều: Diện tích của một tam giác đều cạnh \( x \) được tính bằng công thức: \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2 \] 2. Tam giác trung bình: Khi tam giác \( A_nB_nC_n \) là tam giác trung bình của tam giác \( A_{n-1}B_{n-1}C_{n-1} \), thì mỗi cạnh của tam giác \( A_nB_nC_n \) bằng một nửa cạnh của tam giác \( A_{n-1}B_{n-1}C_{n-1} \). 3. Diện tích của tam giác trung bình: Do mỗi cạnh của tam giác \( A_nB_nC_n \) bằng một nửa cạnh của tam giác \( A_{n-1}B_{n-1}C_{n-1} \), diện tích của tam giác \( A_nB_nC_n \) sẽ bằng \( \frac{1}{4} \) diện tích của tam giác \( A_{n-1}B_{n-1}C_{n-1} \). 4. Tính tổng diện tích: - Diện tích của tam giác \( A_1B_1C_1 \) là: \[ S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2 \] - Diện tích của tam giác \( A_2B_2C_2 \) là: \[ S_2 = \frac{1}{4} S_1 = \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} x^2 = \frac{\sqrt{3}}{16} x^2 \] - Diện tích của tam giác \( A_3B_3C_3 \) là: \[ S_3 = \frac{1}{4} S_2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{16} x^2 = \frac{\sqrt{3}}{64} x^2 \] - Tiếp tục như vậy, diện tích của tam giác \( A_nB_nC_n \) là: \[ S_n = \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1} S_1 = \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} x^2 \] 5. Tổng diện tích: Tổng diện tích \( S \) là tổng của dãy vô hạn: \[ S = S_1 + S_2 + S_3 + \ldots = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2 \left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \ldots \right) \] Đây là một cấp số nhân vô hạn với công bội \( q = \frac{1}{4} \). Tổng của cấp số nhân vô hạn này là: \[ \frac{1}{1-q} = \frac{1}{1-\frac{1}{4}} = \frac{4}{3} \] Do đó, tổng diện tích \( S \) là: \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} x^2 \] Vậy, tổng diện tích của dãy các tam giác là \( \frac{\sqrt{3}}{3} x^2 \).