1. Tứ giác ABOC nội tiếp. 2. ∠BAO = ∠ BCO. 3. ΔΜΙΗ ~ ΔΜΗΚ. 4. MI. MK = M.H ^ 2 .

Bài 27: Để chứng minh bài toán này, chúng ta cần chứng minh rằng ba đường thẳng $MH$, $MK$, và $MI$ đồng quy tại một điểm. Đây là một bài toán hình học liên quan đến các đường cao trong tam giác và các tính chất của đường tròn. Bước 1: Xác định các yếu tố cơ bản - Gọi $O$ là tâm của đường tròn. - $A$ là điểm nằm ngoài đường tròn, từ đó kẻ các tiếp tuyến $AB$ và $AC$ với đường tròn $(O)$, tiếp xúc tại $B$ và $C$. - $M$ là một điểm bất kỳ trên đường tròn $(O)$, khác $B$ và $C$. - Kẻ các đường vuông góc từ $M$ đến các cạnh của tam giác $ABC$: $MH \perp BC$, $MK \perp CA$, $MI \perp AB$. Bước 2: Sử dụng tính chất của các tiếp tuyến - Vì $AB$ và $AC$ là các tiếp tuyến từ $A$ đến đường tròn $(O)$, nên $AB = AC$. - Tam giác $ABC$ là tam giác cân tại $A$. Bước 3: Chứng minh đồng quy - Ta cần chứng minh rằng ba đường thẳng $MH$, $MK$, và $MI$ đồng quy tại một điểm. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng định lý về các đường cao trong tam giác. - Xét tam giác $MBC$, $MH$ là đường cao từ $M$ đến $BC$. - Xét tam giác $MCA$, $MK$ là đường cao từ $M$ đến $CA$. - Xét tam giác $MAB$, $MI$ là đường cao từ $M$ đến $AB$. - Theo định lý về các đường cao trong tam giác, ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm, gọi là trực tâm của tam giác đó. Bước 4: Kết luận - Do đó, ba đường thẳng $MH$, $MK$, và $MI$ đồng quy tại trực tâm của tam giác $MBC$. Vậy, ta đã chứng minh được rằng ba đường thẳng $MH$, $MK$, và $MI$ đồng quy tại một điểm.