Giúp mình với!

Bài 1: a) $\frac{-3}{19}.\frac23+\frac23.\frac{-16}{19}=\frac23.(\frac{-3}{19}+\frac{-16}{19})=\frac23.(-1)=\frac{-2}{3}$ b) $(\frac13-|\frac{-2}3|):\frac5{(-2)^2}-(2024^2)^0-\sqrt{\frac{49}{81}}=(\frac13-\frac23):\frac54-1-\frac79=(-\frac13):\frac54-1-\frac79=(-\frac13).\frac45-1-\frac79=\frac{-4}{15}-\frac{16}{9}=\frac{-64}{45}$ Bài 2: a) ĐKXĐ: \(1-7x \neq 0\) hay \(x \neq \frac{1}{7}\) Ta có: \[ \frac{4}{(1-7x)} = \frac{(1-7x)}{9} \] Nhân chéo ta được: \[ 4 \cdot 9 = (1-7x)^2 \] \[ 36 = (1-7x)^2 \] Lấy căn bậc hai của cả hai vế: \[ 1-7x = 6 \quad \text{hoặc} \quad 1-7x = -6 \] Giải từng trường hợp: 1. \(1-7x = 6\) \[ -7x = 6 - 1 \] \[ -7x = 5 \] \[ x = -\frac{5}{7} \] 2. \(1-7x = -6\) \[ -7x = -6 - 1 \] \[ -7x = -7 \] \[ x = 1 \] Kiểm tra điều kiện \(x \neq \frac{1}{7}\): - \(x = -\frac{5}{7}\) thỏa mãn điều kiện. - \(x = 1\) thỏa mãn điều kiện. Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = -\frac{5}{7} \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \] b) Ta có: \[ |x + \frac{3}{5}| - \frac{1}{2} = 3 \] Cộng \(\frac{1}{2}\) vào cả hai vế: \[ |x + \frac{3}{5}| = 3 + \frac{1}{2} \] \[ |x + \frac{3}{5}| = \frac{7}{2} \] Do đó: \[ x + \frac{3}{5} = \frac{7}{2} \quad \text{hoặc} \quad x + \frac{3}{5} = -\frac{7}{2} \] Giải từng trường hợp: 1. \(x + \frac{3}{5} = \frac{7}{2}\) \[ x = \frac{7}{2} - \frac{3}{5} \] \[ x = \frac{35}{10} - \frac{6}{10} \] \[ x = \frac{29}{10} \] 2. \(x + \frac{3}{5} = -\frac{7}{2}\) \[ x = -\frac{7}{2} - \frac{3}{5} \] \[ x = -\frac{35}{10} - \frac{6}{10} \] \[ x = -\frac{41}{10} \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{29}{10} \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{41}{10} \] Bài 3: Gọi số kilôgam giấy vụn mà ba lớp 7A, 7B, 7C thu gom được lần lượt là \(a\), \(b\), và \(c\) (kg). Theo đề bài, số kilôgam giấy vụn gom được của ba lớp này lần lượt tỉ lệ với 5; 6; 8. Điều này có nghĩa là: \[ \frac{a}{5} = \frac{b}{6} = \frac{c}{8} \] Ta cũng biết rằng khối lượng giấy vụn gom được của cả hai lớp 7A và 7C nhiều hơn của lớp 7B là 49 kilôgam. Do đó: \[ a + c = b + 49 \] Bây giờ ta sẽ giải hệ phương trình này. Đặt \( \frac{a}{5} = \frac{b}{6} = \frac{c}{8} = k \), trong đó \(k\) là hằng số tỷ lệ. Từ đây ta có: \[ a = 5k \] \[ b = 6k \] \[ c = 8k \] Thay các giá trị này vào phương trình \( a + c = b + 49 \): \[ 5k + 8k = 6k + 49 \] \[ 13k = 6k + 49 \] \[ 13k - 6k = 49 \] \[ 7k = 49 \] \[ k = 7 \] Bây giờ ta thay \( k = 7 \) vào các biểu thức để tìm \( a \), \( b \), và \( c \): \[ a = 5k = 5 \times 7 = 35 \text{ kg} \] \[ b = 6k = 6 \times 7 = 42 \text{ kg} \] \[ c = 8k = 8 \times 7 = 56 \text{ kg} \] Vậy số kilôgam giấy vụn mà ba lớp 7A, 7B, 7C thu gom được lần lượt là: - Lớp 7A: 35 kg - Lớp 7B: 42 kg - Lớp 7C: 56 kg Đáp số: - Lớp 7A: 35 kg - Lớp 7B: 42 kg - Lớp 7C: 56 kg Bài 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh \(\Delta BMA = \Delta BME\). - Ta có \(M\) là trung điểm của \(AE\), do đó \(AM = ME\). - Theo giả thiết, \(BE = AB\). - Cạnh chung: \(BM\). Vậy, theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh (c.c.c), ta có \(\Delta BMA = \Delta BME\). b) Tia cắt \(BM\) cắt cạnh \(AC\) tại \(K\). Chứng minh \(KB\) là tia phân giác của góc \(AKE\). - Từ phần a), ta có \(\Delta BMA = \Delta BME\), do đó \(\angle BMA = \angle BME\). - Vì \(M\) là trung điểm của \(AE\), nên \(AM = ME\). - Do đó, \(BM\) là tia phân giác của góc \(\angle AME\). Khi tia \(BM\) cắt \(AC\) tại \(K\), ta có: - \(\angle AMK = \angle EMK\) (vì \(BM\) là tia phân giác của \(\angle AME\)). Do đó, \(KB\) là tia phân giác của góc \(AKE\). c) Trên tia đối của tia \(MB\) lấy \(I\) sao cho \(MI = MB\). Chứng minh \(EK\) vuông góc với \(AI\). - Ta có \(MI = MB\) và \(M\) là trung điểm của \(AE\), do đó \(AM = ME\). - Xét tứ giác \(AMEI\), ta có: - \(AM = ME\) và \(MI = MB\). - \(\angle AMB = \angle EMI\) (vì \(\Delta BMA = \Delta BME\)). - Do đó, tứ giác \(AMEI\) là hình bình hành, vì có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau. - Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. - Do đó, \(EK\) là đường cao của hình bình hành \(AMEI\), nên \(EK\) vuông góc với \(AI\). Vậy, ta đã chứng minh được \(EK\) vuông góc với \(AI\). Bài 5: a) Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau nên ta có: $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$ Hay $\frac{2}{y_1}=\frac{5}{y_2}$ Suy ra $\frac{2}{y_1}=\frac{5}{y_2}=\frac{2+5}{y_1+y_2}=\frac{7}{y_1+y_2}$ Do đó $y_1=\frac{2(y_1+y_2)}{7};y_2=\frac{5(y_1+y_2)}{7}$ Ta có $y_1^3-y_2^3=117$ $\Leftrightarrow (\frac{2(y_1+y_2)}{7})^3-(\frac{5(y_1+y_2)}{7})^3=117$ $\Leftrightarrow \frac{(y_1+y_2)^3}{343}(8-125)=117$ $\Leftrightarrow \frac{-117(y_1+y_2)^3}{343}=117$ $\Leftrightarrow (y_1+y_2)^3=-343$ $\Leftrightarrow y_1+y_2=-7$ Từ đây ta tính được $y_1=-2,y_2=-5$ Vậy $M=(-2+3)^{2024}+(-5+5)^{2025}=1$ b) Ta có $\frac{1}{a}=\frac{1}{2}(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$ $\Leftrightarrow \frac{2}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ $\Leftrightarrow \frac{2bc}{abc}=\frac{ac}{abc}+\frac{ab}{abc}$ $\Leftrightarrow 2bc=ac+ab$ $\Leftrightarrow 2bc-ac-ab=0$ $\Leftrightarrow c(2b-a)-ab=0$ $\Leftrightarrow c(2b-a)=ab$ $\Leftrightarrow c=\frac{ab}{2b-a}$ Xét $\frac{b-a}{a-c}=\frac{b-a}{a-\frac{ab}{2b-a}}=\frac{b-a}{\frac{a(2b-a)-ab}{2b-a}}=\frac{b-a}{\frac{2ab-a^2-ab}{2b-a}}=\frac{b-a}{\frac{ab-a^2}{2b-a}}=\frac{b-a}{\frac{a(b-a)}{2b-a}}=\frac{2b-a}{a}$ Vậy $\frac{b-a}{a-c}=\frac{2b-a}{a}$ Từ đây ta có $\frac{b}{c}=\frac{b-a}{a-c}$