Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Bài 1: Để chứng minh tứ giác \( OAMB \) là hình thoi, ta cần chứng minh rằng tứ giác này có bốn cạnh bằng nhau. 1. Xét các điều kiện của bài toán: - \( MA \parallel Oy \) và \( MB \parallel Ox \). - \( A \in Ox \) và \( B \in Oy \). 2. Chứng minh các cạnh bằng nhau: - Do \( MA \parallel Oy \) và \( MB \parallel Ox \), ta có: - \( MA \) vuông góc với \( Ox \). - \( MB \) vuông góc với \( Oy \). 3. Xét tam giác vuông \( OMA \) và \( OMB \): - Tam giác \( OMA \) vuông tại \( A \) vì \( MA \perp Ox \). - Tam giác \( OMB \) vuông tại \( B \) vì \( MB \perp Oy \). 4. Chứng minh \( OA = OB \): - Vì \( Ot \) là tia phân giác của góc \( xOy \), nên \( \angle MOA = \angle MOB \). - Do đó, tam giác \( OMA \) và tam giác \( OMB \) có: - \( \angle MOA = \angle MOB \) (góc đối đỉnh). - \( OM \) là cạnh chung. - Suy ra, tam giác \( OMA \) và tam giác \( OMB \) đồng dạng theo trường hợp góc - góc (AA). 5. Suy ra các cạnh bằng nhau: - Từ sự đồng dạng của hai tam giác, ta có: - \( OA = OB \). 6. Chứng minh \( AM = MB \): - Do \( MA \parallel Oy \) và \( MB \parallel Ox \), nên \( AM = MB \) vì \( M \) là giao điểm của hai đường thẳng song song với hai trục tọa độ. 7. Kết luận: - Tứ giác \( OAMB \) có bốn cạnh bằng nhau: \( OA = OB = AM = MB \). - Do đó, tứ giác \( OAMB \) là hình thoi. Vậy, tứ giác \( OAMB \) là hình thoi. Bài 3: Để chứng minh tứ giác \(AECF\) là hình thoi, ta cần chứng minh rằng \(AECF\) có bốn cạnh bằng nhau. 1. Tính chất trung điểm: - Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\), do đó \(AE = EB\). - Gọi \(F\) là trung điểm của \(CD\), do đó \(CF = FD\). 2. Chứng minh các cạnh bằng nhau: - Ta có \(AC\) vuông góc với \(BC\) tại \(C\), do đó tam giác \(ABC\) là tam giác vuông tại \(C\). - Trong tam giác vuông \(ABC\), \(E\) là trung điểm của cạnh huyền \(AB\), do đó \(AE = EB = \frac{1}{2}AB\). - Tương tự, trong tam giác vuông \(BCD\), \(F\) là trung điểm của cạnh huyền \(CD\), do đó \(CF = FD = \frac{1}{2}CD\). 3. Chứng minh \(AE = CF\): - Vì \(AB = CD\) (tính chất của hình bình hành), nên \(\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD\). - Do đó, \(AE = CF\). 4. Chứng minh \(EC = AF\): - Trong hình bình hành \(ABCD\), \(AC\) và \(BD\) là hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. - Do đó, \(EC = \frac{1}{2}AC\) và \(AF = \frac{1}{2}AC\). - Vậy \(EC = AF\). 5. Kết luận: - Từ các bước trên, ta có \(AE = CF\) và \(EC = AF\). - Do đó, tứ giác \(AECF\) có bốn cạnh bằng nhau, nên \(AECF\) là hình thoi. Vậy, tứ giác \(AECF\) là hình thoi. Bài 5: Để chứng minh tứ giác \( MPNQ \) là hình thoi, ta cần chứng minh rằng \( MPNQ \) có bốn cạnh bằng nhau. 1. Xác định trung điểm và giao điểm: - Gọi \( P \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( BP = PC \). - Gọi \( Q \) là trung điểm của \( AD \), do đó \( AQ = QD \). 2. Chứng minh các tam giác đồng dạng: - Xét tam giác \( \triangle ABP \) và \( \triangle DCP \): - \( AB = DC \) (vì \( ABCD \) là hình chữ nhật). - \( BP = PC \) (vì \( P \) là trung điểm của \( BC \)). - Góc \( \angle ABP = \angle DCP \) (vì hai góc này là góc đối đỉnh). - Do đó, \( \triangle ABP \) đồng dạng với \( \triangle DCP \). 3. Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau: - Từ sự đồng dạng của hai tam giác trên, ta có: - \( \frac{AP}{BP} = \frac{DP}{PC} \). - Vì \( BP = PC \), suy ra \( AP = DP \). - Tương tự, xét tam giác \( \triangle AQB \) và \( \triangle DQC \): - \( AQ = QD \) (vì \( Q \) là trung điểm của \( AD \)). - \( AB = DC \) (vì \( ABCD \) là hình chữ nhật). - Góc \( \angle AQB = \angle DQC \) (vì hai góc này là góc đối đỉnh). - Do đó, \( \triangle AQB \) đồng dạng với \( \triangle DQC \). - Từ sự đồng dạng của hai tam giác trên, ta có: - \( \frac{AQ}{BQ} = \frac{DQ}{CQ} \). - Vì \( AQ = QD \), suy ra \( BQ = CQ \). 4. Chứng minh tứ giác \( MPNQ \) là hình thoi: - Từ các kết quả trên, ta có: - \( AP = DP \) và \( BQ = CQ \). - Do đó, các đoạn thẳng \( MP = NP \) và \( MQ = NQ \). - Vì \( MPNQ \) có bốn cạnh bằng nhau, nên \( MPNQ \) là hình thoi. Như vậy, ta đã chứng minh được tứ giác \( MPNQ \) là hình thoi. Bài 6: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh H là trung điểm của EF 1. Xét đường trung trực của BM: - Đường trung trực của đoạn thẳng BM là tập hợp các điểm cách đều hai điểm B và M. - Do đó, điểm E nằm trên đường trung trực của BM nên \(EB = EM\). 2. Xét điểm F: - Tương tự, điểm F cũng nằm trên đường trung trực của BM nên \(FB = FM\). 3. Xét điểm H: - H là giao điểm của EF và MB. Do E và F đều cách đều B và M, nên H cũng cách đều B và M. - Do đó, H là trung điểm của EF. b) Chứng minh tứ giác MEBF là hình thoi 1. Tính chất của hình thoi: - Một tứ giác là hình thoi nếu nó có bốn cạnh bằng nhau. 2. Chứng minh các cạnh bằng nhau: - Từ phần a, ta có \(EB = EM\) và \(FB = FM\). - Do đó, trong tứ giác MEBF, ta có: - \(EB = EM\) - \(FB = FM\) - \(EB = FB\) (vì E và F đều nằm trên đường trung trực của BM) - Vậy, \(EM = FM\). 3. Kết luận: - Tứ giác MEBF có bốn cạnh bằng nhau, do đó MEBF là hình thoi. c) Điều kiện để tứ giác BCNE là hình thang cân 1. Tính chất của hình thang cân: - Một tứ giác là hình thang cân nếu nó có hai cạnh đối song song và hai cạnh bên bằng nhau. 2. Điều kiện cần thêm: - Để BCNE là hình thang cân, cần có \(BC \parallel NE\) và \(BC = NE\). 3. Điều kiện từ hình bình hành: - Trong hình bình hành ABCD, ta có \(AB \parallel CD\) và \(AB = CD\). - Do \(AM = DN\), nên \(BM = CN\). - Để BCNE là hình thang cân, cần thêm điều kiện \(BC = NE\). 4. Kết luận: - Hình bình hành ABCD cần có thêm điều kiện \(BC = NE\) để tứ giác BCNE là hình thang cân. Với các bước lập luận trên, chúng ta đã giải quyết được từng phần của bài toán một cách chi tiết và rõ ràng. Bài 7: Để giải bài toán này, chúng ta cần chứng minh hai phần: a) M, O, P thẳng hàng và N, O, Q thẳng hàng; b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. Phần a: Chứng minh M, O, P thẳng hàng và N, O, Q thẳng hàng 1. Tính chất của hình thoi: - Hình thoi ABCD có các đường chéo AC và BD vuông góc tại O và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. - Do đó, O là trung điểm của cả AC và BD. 2. Xét các điểm M, N, P, Q: - Theo giả thiết, ta có: \(AM = CN = CP = AQ\). 3. Chứng minh M, O, P thẳng hàng: - Xét tam giác ACD, ta có O là trung điểm của AC. - Điểm M nằm trên AB và P nằm trên CD sao cho \(AM = CP\). - Do đó, M và P đối xứng nhau qua O (vì O là trung điểm của AC và AM = CP). - Vậy M, O, P thẳng hàng. 4. Chứng minh N, O, Q thẳng hàng: - Tương tự, xét tam giác BCD, ta có O là trung điểm của BD. - Điểm N nằm trên BC và Q nằm trên DA sao cho \(CN = AQ\). - Do đó, N và Q đối xứng nhau qua O (vì O là trung điểm của BD và CN = AQ). - Vậy N, O, Q thẳng hàng. Phần b: Chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật 1. Tính chất đối xứng: - Từ phần a, ta đã chứng minh M, O, P thẳng hàng và N, O, Q thẳng hàng. - Do đó, các đoạn thẳng MP và NQ đều đi qua O. 2. Chứng minh các góc vuông: - Vì M, O, P thẳng hàng và N, O, Q thẳng hàng, nên các đường thẳng MP và NQ vuông góc với nhau tại O (do O là giao điểm của hai đường chéo vuông góc của hình thoi). 3. Chứng minh các cạnh đối song song: - Do M, O, P thẳng hàng và N, O, Q thẳng hàng, các đoạn thẳng MN và PQ song song với nhau. - Tương tự, các đoạn thẳng MQ và NP song song với nhau. 4. Kết luận: - Tứ giác MNPQ có các cạnh đối song song và các góc vuông, do đó MNPQ là hình chữ nhật. Như vậy, chúng ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán.