Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Bài 1: Để chứng minh tứ giác \( OAMB \) là hình thoi, ta cần chứng minh rằng tứ giác này có bốn cạnh bằng nhau. 1. Xét các điều kiện của bài toán: - \( MA \parallel Oy \) và \( MB \parallel Ox \). - \( A \in Ox \) và \( B \in Oy \). 2. Chứng minh các cạnh bằng nhau: - Vì \( MA \parallel Oy \) và \( A \in Ox \), nên \( MA \) vuông góc với \( Ox \). Do đó, \( MA \) là đường cao từ \( M \) đến \( Ox \). - Tương tự, \( MB \parallel Ox \) và \( B \in Oy \), nên \( MB \) vuông góc với \( Oy \). Do đó, \( MB \) là đường cao từ \( M \) đến \( Oy \). 3. Chứng minh \( OA = OB \): - Vì \( Ot \) là tia phân giác của góc \( xOy \), nên \( OA = OB \) (tính chất của tia phân giác). 4. Chứng minh \( MA = MB \): - Do \( MA \parallel Oy \) và \( MB \parallel Ox \), nên \( MA = MB \) (vì \( M \) là giao điểm của hai đường thẳng song song với hai trục tọa độ). 5. Kết luận: - Từ các bước trên, ta có \( OA = OB \) và \( MA = MB \). - Do đó, tứ giác \( OAMB \) có bốn cạnh bằng nhau, nên \( OAMB \) là hình thoi. Vậy, tứ giác \( OAMB \) là hình thoi. Bài 3: Để chứng minh tứ giác AECF là hình thoi, ta cần chứng minh rằng AECF có bốn cạnh bằng nhau. 1. Tính chất trung điểm: - Vì E là trung điểm của AB, nên AE = EB. - Vì F là trung điểm của CD, nên CF = FD. 2. Tính chất hình bình hành: - Trong hình bình hành ABCD, ta có AB = CD và AD = BC. 3. Chứng minh AE = CF: - Vì E là trung điểm của AB, nên AE = EB = $\frac{1}{2}$AB. - Vì F là trung điểm của CD, nên CF = FD = $\frac{1}{2}$CD. - Do AB = CD (tính chất của hình bình hành), ta có AE = CF. 4. Chứng minh AC = CE: - Trong tam giác vuông ACB, AC là đường cao từ C, nên AC vuông góc với BC. - Do E là trung điểm của AB, nên CE là đường trung tuyến của tam giác vuông ACB. - Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền, do đó CE = $\frac{1}{2}$AB. 5. Chứng minh CF = CE: - Tương tự, trong tam giác vuông DCB, CF là đường trung tuyến từ F, nên CF = $\frac{1}{2}$CD. - Do AB = CD, ta có CF = CE. 6. Kết luận: - Từ các bước trên, ta có AE = CF và AC = CE. - Do đó, tứ giác AECF có bốn cạnh bằng nhau, nên AECF là hình thoi. Vậy, tứ giác AECF là hình thoi. Bài 5: Để chứng minh tứ giác MPNQ là hình thoi, ta cần chứng minh rằng MPNQ có bốn cạnh bằng nhau. 1. Xét các trung điểm: - P là trung điểm của BC, do đó \( BP = PC \). - Q là trung điểm của AD, do đó \( AQ = QD \). 2. Xét các tam giác: - Xét tam giác \( \triangle ABP \) và \( \triangle CDP \): - \( AB = CD \) (vì ABCD là hình chữ nhật). - \( BP = PC \) (vì P là trung điểm của BC). - \( \angle ABP = \angle CDP = 90^\circ \) (góc vuông của hình chữ nhật). Do đó, \( \triangle ABP \cong \triangle CDP \) (cạnh-góc-cạnh). 3. Xét các tam giác: - Xét tam giác \( \triangle AQD \) và \( \triangle BQC \): - \( AQ = QD \) (vì Q là trung điểm của AD). - \( BQ = QC \) (vì Q là trung điểm của BC). - \( \angle AQD = \angle BQC = 90^\circ \) (góc vuông của hình chữ nhật). Do đó, \( \triangle AQD \cong \triangle BQC \) (cạnh-góc-cạnh). 4. Chứng minh MPNQ là hình thoi: - Từ các tam giác đã chứng minh là bằng nhau, ta có: - \( AP = DP \) và \( BQ = CQ \). - Xét tứ giác MPNQ: - \( MP = NP \) (vì M và N là giao điểm của các đường chéo của hình chữ nhật). - \( MQ = NQ \) (vì M và N là giao điểm của các đường chéo của hình chữ nhật). - Do đó, tứ giác MPNQ có bốn cạnh bằng nhau. Vậy, tứ giác MPNQ là hình thoi. Bài 6: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh H là trung điểm của EF 1. Xét đường trung trực của BM: - Đường trung trực của đoạn thẳng BM là tập hợp các điểm cách đều hai điểm B và M. - Do đó, điểm E nằm trên đường trung trực của BM nên \(EB = EM\). 2. Xét điểm F: - Tương tự, điểm F cũng nằm trên đường trung trực của BM nên \(FB = FM\). 3. Xét điểm H: - H là giao điểm của EF và MB. Do E và F đều cách đều B và M, nên H cũng cách đều B và M. - Điều này có nghĩa là \(HE = HF\). 4. Kết luận: - Vì \(HE = HF\), H là trung điểm của EF. b) Chứng minh tứ giác MEBF là hình thoi 1. Tính chất của hình thoi: - Một tứ giác là hình thoi nếu nó có bốn cạnh bằng nhau. 2. Chứng minh các cạnh bằng nhau: - Từ phần a, ta đã có \(EB = EM\) và \(FB = FM\). - Do đó, trong tứ giác MEBF, ta có: - \(ME = MB\) - \(EB = FB\) - \(MF = MB\) - \(EF = EF\) (vì H là trung điểm của EF) 3. Kết luận: - Vì các cạnh ME, EB, BF, FM đều bằng nhau, tứ giác MEBF là hình thoi. c) Điều kiện để tứ giác BCNE là hình thang cân 1. Tính chất của hình thang cân: - Một tứ giác là hình thang cân nếu nó có hai cạnh đối song song và hai cạnh bên bằng nhau. 2. Điều kiện cần có: - Để BCNE là hình thang cân, cần có \(BC \parallel NE\) và \(BC = NE\). 3. Điều kiện từ hình bình hành ABCD: - Vì ABCD là hình bình hành, ta có \(AB \parallel CD\) và \(AB = CD\). - Để BCNE là hình thang cân, cần thêm điều kiện \(AB = CD = BC = NE\). 4. Kết luận: - Hình bình hành ABCD cần có thêm điều kiện \(AB = CD = BC = NE\) để tứ giác BCNE là hình thang cân. Với các bước lập luận trên, chúng ta đã giải quyết được bài toán theo yêu cầu. Bài 7: Để giải bài toán này, chúng ta cần chứng minh hai phần: a) M, O, P thẳng hàng và N, O, Q thẳng hàng; b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. Phần a: Chứng minh M, O, P thẳng hàng và N, O, Q thẳng hàng 1. Tính chất của hình thoi: - Hình thoi ABCD có các đường chéo AC và BD vuông góc tại O và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. - Do đó, O là trung điểm của cả AC và BD. 2. Xét tam giác AMO và tam giác CPO: - Ta có \(AM = CP\) (giả thiết). - \(AO = CO\) (vì O là trung điểm của AC). - Góc \(AOM = COP\) (vì hai góc này là góc đối đỉnh). Từ ba điều kiện trên, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có tam giác AMO bằng tam giác CPO. 3. Chứng minh M, O, P thẳng hàng: - Vì tam giác AMO bằng tam giác CPO, nên góc \(AMO = CPO\). - Do đó, M, O, P thẳng hàng. 4. Xét tam giác BNO và tam giác DQO: - Ta có \(BN = DQ\) (giả thiết). - \(BO = DO\) (vì O là trung điểm của BD). - Góc \(BNO = DQO\) (vì hai góc này là góc đối đỉnh). Từ ba điều kiện trên, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có tam giác BNO bằng tam giác DQO. 5. Chứng minh N, O, Q thẳng hàng: - Vì tam giác BNO bằng tam giác DQO, nên góc \(BNO = DQO\). - Do đó, N, O, Q thẳng hàng. Phần b: Chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật 1. Tính chất của tứ giác MNPQ: - Tứ giác MNPQ có các cặp cạnh đối song song: \(MN \parallel PQ\) và \(MP \parallel NQ\) (do M, O, P thẳng hàng và N, O, Q thẳng hàng). 2. Chứng minh các góc vuông: - Xét tam giác AMN và tam giác CPQ: - Ta có \(AM = CP\), \(AN = CQ\) (giả thiết). - \(MN \parallel PQ\) (vì M, O, P thẳng hàng và N, O, Q thẳng hàng). - Do đó, góc \(AMN = CPQ\) và góc \(ANM = CQP\). 3. Kết luận: - Vì các góc đối của tứ giác MNPQ bằng nhau và bằng 90 độ, nên tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. Như vậy, chúng ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán.