Giải dùm em với ạ

Câu 1: Để xác định tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{a}\), ta cần xem xét các thành phần của vectơ này theo các trục tọa độ \(Oxyz\). Vectơ \(\overrightarrow{a}\) được cho dưới dạng: \[ \overrightarrow{a} = 3\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} - \overrightarrow{k} \] Trong đó: - \(3\overrightarrow{i}\) là thành phần theo trục \(Ox\), có tọa độ là 3. - \(4\overrightarrow{j}\) là thành phần theo trục \(Oy\), có tọa độ là 4. - \(-\overrightarrow{k}\) là thành phần theo trục \(Oz\), có tọa độ là -1. Do đó, tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{a}\) là \((3; 4; -1)\). Vậy đáp án đúng là \(C.~\overrightarrow{a}(3;4;-1)\). Câu 2: Để tìm tọa độ trung điểm \( M \) của đoạn thẳng \( AB \) với \( A(3;1;-1) \) và \( B(-1;5;7) \), ta sử dụng công thức tính tọa độ trung điểm của đoạn thẳng trong không gian: \[ M\left(x_M, y_M, z_M\right) = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2}\right) \] Áp dụng công thức trên: - Tọa độ \( x \) của \( M \): \[ x_M = \frac{3 + (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] - Tọa độ \( y \) của \( M \): \[ y_M = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] - Tọa độ \( z \) của \( M \): \[ z_M = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] Vậy tọa độ trung điểm \( M \) của đoạn thẳng \( AB \) là \( M(1;3;3) \). Do đó, đáp án đúng là \( B.~M(1;3;3) \). Câu 3: Để tìm tọa độ tâm \( I \) của hình hộp \( ABCD.A'B'C'D' \), ta cần xác định tọa độ của các đỉnh của hình hộp và sau đó tính trung điểm của đường chéo không gian của hình hộp. 1. Xác định tọa độ các đỉnh của hình hộp: - Giả sử \( A(1;0;1) \) và \( C'(4;5;-5) \) là hai đỉnh đối diện nhau của hình hộp. - Trong hình hộp chữ nhật, các đỉnh đối diện nhau có trung điểm là tâm của hình hộp. 2. Tính tọa độ trung điểm của đường chéo không gian: - Đường chéo không gian của hình hộp là đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện nhau, ở đây là \( A \) và \( C' \). - Trung điểm \( I \) của đoạn thẳng \( AC' \) có tọa độ được tính bằng công thức trung điểm: \[ I\left(\frac{x_A + x_{C'}}{2}, \frac{y_A + y_{C'}}{2}, \frac{z_A + z_{C'}}{2}\right) \] - Thay tọa độ của \( A(1;0;1) \) và \( C'(4;5;-5) \) vào công thức trên: \[ I\left(\frac{1 + 4}{2}, \frac{0 + 5}{2}, \frac{1 - 5}{2}\right) = I\left(\frac{5}{2}, \frac{5}{2}, -2\right) \] 3. Kết luận: Tọa độ tâm \( I \) của hình hộp là \( \left(\frac{5}{2}, \frac{5}{2}, -2\right) \). Do đó, đáp án đúng là \( D.~I\left(\frac{5}{2}, \frac{5}{2}, -2\right) \). Câu 4: Để tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Nhân các vectơ với hệ số tương ứng: - \(2\overrightarrow{a} = 2 \cdot (2; -3; 3) = (4; -6; 6)\) - \(3\overrightarrow{b} = 3 \cdot (0; 2; -1) = (0; 6; -3)\) - \(-2\overrightarrow{c} = -2 \cdot (3; -1; 5) = (-6; 2; -10)\) 2. Cộng các vectơ đã nhân: \[ \overrightarrow{u} = (4; -6; 6) + (0; 6; -3) + (-6; 2; -10) \] 3. Tính từng thành phần của vectơ \(\overrightarrow{u}\): - Thành phần \(x\): \(4 + 0 - 6 = -2\) - Thành phần \(y\): \(-6 + 6 + 2 = 2\) - Thành phần \(z\): \(6 - 3 - 10 = -7\) Vậy tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{u}\) là \((-2; 2; -7)\). Do đó, đáp án đúng là \(B.~(-2; 2; -7)\). Câu 5: Để tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành, ta cần có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau. Một cách để kiểm tra điều này là kiểm tra xem hai đường chéo có cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường hay không. Gọi \(D(x;y;z)\) là tọa độ điểm \(D\). Ta cần tìm tọa độ của \(D\) sao cho trung điểm của \(AC\) và \(BD\) trùng nhau. Bước 1: Tìm trung điểm của \(AC\): Tọa độ của \(A\) là \((0; -2; 1)\) và tọa độ của \(C\) là \((1; 0; 0)\). Trung điểm \(M\) của \(AC\) có tọa độ: \[ M\left(\frac{0+1}{2}; \frac{-2+0}{2}; \frac{1+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}; -1; \frac{1}{2}\right) \] Bước 2: Tìm trung điểm của \(BD\): Tọa độ của \(B\) là \((1; 3; -2)\) và tọa độ của \(D\) là \((x; y; z)\). Trung điểm \(N\) của \(BD\) có tọa độ: \[ N\left(\frac{1+x}{2}; \frac{3+y}{2}; \frac{-2+z}{2}\right) \] Bước 3: Đặt điều kiện trung điểm \(M\) và \(N\) trùng nhau: Để \(M\) và \(N\) trùng nhau, ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} \frac{1+x}{2} = \frac{1}{2} \\ \frac{3+y}{2} = -1 \\ \frac{-2+z}{2} = \frac{1}{2} \end{cases} \] Giải hệ phương trình trên: 1. \(\frac{1+x}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow 1+x = 1 \Rightarrow x = 0\) 2. \(\frac{3+y}{2} = -1 \Rightarrow 3+y = -2 \Rightarrow y = -5\) 3. \(\frac{-2+z}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow -2+z = 1 \Rightarrow z = 3\) Vậy tọa độ của \(D\) là \((0; -5; 3)\). Kết luận: Tọa độ điểm \(D\) để tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành là \(D(0; -5; 3)\). Đáp án đúng là \(A.~D(0; -5; 3).\) Câu 6: Để tìm tọa độ của điểm \( A \) nằm trên tia \( Oy \) và có độ dài \( OA = 3 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vị trí của điểm \( A \) trên tia \( Oy \): Tia \( Oy \) là tia nằm trên trục \( y \) dương của hệ tọa độ \( Oxyz \). Do đó, điểm \( A \) có tọa độ dạng \( A(0; y; 0) \). 2. Tính độ dài \( OA \): Độ dài \( OA \) được tính bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ OA = \sqrt{(0 - 0)^2 + (y - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{y^2} = |y| \] 3. Áp dụng điều kiện \( OA = 3 \): Từ điều kiện \( OA = 3 \), ta có: \[ |y| = 3 \] Điều này dẫn đến hai khả năng cho \( y \): \[ y = 3 \quad \text{hoặc} \quad y = -3 \] 4. Xác định tọa độ của \( A \): Vì điểm \( A \) nằm trên tia \( Oy \) (tức là trục \( y \) dương), nên \( y \) phải là số dương. Do đó, ta chọn \( y = 3 \). Vậy tọa độ của điểm \( A \) là \( A(0; 3; 0) \). Kết luận: Tọa độ của điểm \( A \) là \( A(0; 3; 0) \). Do đó, đáp án đúng là \( A. \) Câu 7: Để tìm tọa độ của điểm \( N \), ta sử dụng tính chất của trung điểm. Trung điểm \( I \) của đoạn thẳng \( MN \) có tọa độ được tính theo công thức: \[ I\left(\frac{x_M + x_N}{2}, \frac{y_M + y_N}{2}, \frac{z_M + z_N}{2}\right) \] Với \( I(-5;0;5) \) và \( M(1;-4;7) \), ta có: 1. Tọa độ \( x \): \[ \frac{1 + x_N}{2} = -5 \implies 1 + x_N = -10 \implies x_N = -11 \] 2. Tọa độ \( y \): \[ \frac{-4 + y_N}{2} = 0 \implies -4 + y_N = 0 \implies y_N = 4 \] 3. Tọa độ \( z \): \[ \frac{7 + z_N}{2} = 5 \implies 7 + z_N = 10 \implies z_N = 3 \] Vậy tọa độ của điểm \( N \) là \( (-11; 4; 3) \). Đáp án đúng là \( \boxed{D} \). Câu 8: Để tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{y} = 2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} + 5\overrightarrow{c}\), ta cần thực hiện các phép tính sau: 1. Tính \(2\overrightarrow{a}\): \[ 2\overrightarrow{a} = 2 \cdot (1; 2; 3) = (2 \cdot 1; 2 \cdot 2; 2 \cdot 3) = (2; 4; 6) \] 2. Tính \(-3\overrightarrow{b}\): \[ -3\overrightarrow{b} = -3 \cdot (-2; 4; 1) = (-3 \cdot (-2); -3 \cdot 4; -3 \cdot 1) = (6; -12; -3) \] 3. Tính \(5\overrightarrow{c}\): \[ 5\overrightarrow{c} = 5 \cdot (-1; 3; 4) = (5 \cdot (-1); 5 \cdot 3; 5 \cdot 4) = (-5; 15; 20) \] 4. Cộng các vectơ lại để tìm \(\overrightarrow{y}\): \[ \overrightarrow{y} = (2; 4; 6) + (6; -12; -3) + (-5; 15; 20) \] Tính từng thành phần: - Thành phần thứ nhất: \(2 + 6 - 5 = 3\) - Thành phần thứ hai: \(4 - 12 + 15 = 7\) - Thành phần thứ ba: \(6 - 3 + 20 = 23\) Vậy tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{y}\) là \((3; 7; 23)\). Do đó, đáp án đúng là \(A.~(3; 7; 23)\). Câu9: Để tìm tọa độ điểm B trong hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\), ta cần hiểu cấu trúc của hình hộp chữ nhật và mối quan hệ giữa các đỉnh. 1. Xác định tọa độ các đỉnh: - Đỉnh \(A'\) trùng với gốc tọa độ \(O(0, 0, 0)\). - Đỉnh \(C\) có tọa độ \((2, 3, 4)\). 2. Quan hệ giữa các đỉnh: - Hình hộp chữ nhật có các cạnh song song với các trục tọa độ. - Đỉnh \(C\) đối diện với đỉnh \(A\) qua tâm của hình hộp chữ nhật. 3. Tọa độ các đỉnh khác: - Đỉnh \(A\) có tọa độ \((2, 3, 0)\) vì nó nằm trên mặt phẳng \(z = 0\) và song song với trục \(Oz\). - Đỉnh \(B\) nằm trên mặt phẳng \(z = 0\) và có cùng hoành độ với \(C\), tung độ với \(A\). 4. Tọa độ điểm \(B\): - Vì \(B\) nằm trên mặt phẳng \(z = 0\), hoành độ của \(B\) là \(2\) (giống \(C\)), tung độ là \(0\) (giống \(A'\)), và cao độ là \(3\) (giống \(A\)). - Do đó, tọa độ của điểm \(B\) là \((2, 0, 3)\). Vậy, tọa độ điểm \(B\) là \((2, 0, 3)\).