giải dùm mình ạ

Câu 1: Để xác định tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{a}\) trong không gian Oxyz, ta cần dựa vào biểu thức của vectơ đó theo các vectơ đơn vị \(\overrightarrow{i}\), \(\overrightarrow{j}\), và \(\overrightarrow{k}\). Vectơ \(\overrightarrow{a}\) được cho dưới dạng: \[ \overrightarrow{a} = 3\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} - \overrightarrow{k} \] Trong không gian Oxyz, một vectơ \(\overrightarrow{v} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k}\) có tọa độ là \((x; y; z)\). Áp dụng điều này cho vectơ \(\overrightarrow{a}\), ta có: - Hệ số của \(\overrightarrow{i}\) là 3, do đó tọa độ x là 3. - Hệ số của \(\overrightarrow{j}\) là 4, do đó tọa độ y là 4. - Hệ số của \(\overrightarrow{k}\) là -1, do đó tọa độ z là -1. Vậy tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{a}\) là \((3; 4; -1)\). Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~\overrightarrow{a}(3;4;-1). \] Câu 2: Để tìm tọa độ trung điểm \( M \) của đoạn thẳng \( AB \) với \( A(3;1;-1) \) và \( B(-1;5;7) \), ta sử dụng công thức tính tọa độ trung điểm của đoạn thẳng trong không gian: \[ M\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2} \right) \] Trong đó, \( A(x_1, y_1, z_1) = (3, 1, -1) \) và \( B(x_2, y_2, z_2) = (-1, 5, 7) \). Áp dụng công thức, ta có: - Tọa độ \( x \) của \( M \): \[ \frac{3 + (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] - Tọa độ \( y \) của \( M \): \[ \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] - Tọa độ \( z \) của \( M \): \[ \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] Vậy tọa độ trung điểm \( M \) của đoạn thẳng \( AB \) là \( M(1, 3, 3) \). Do đó, đáp án đúng là \( B.~M(1;3;3) \). Câu 3: Để tìm tọa độ tâm \( I \) của hình hộp \( ABCD.A'B'C'D' \), ta cần biết rằng tâm của hình hộp là trung điểm của đường chéo nối hai đỉnh đối diện nhau. Trong trường hợp này, hai đỉnh đối diện là \( A \) và \( C' \). Cho tọa độ của \( A(1;0;1) \) và \( C'(4;5;-5) \). Tọa độ của tâm \( I \) được tính bằng cách lấy trung bình cộng của các tọa độ tương ứng của \( A \) và \( C' \): \[ x_I = \frac{x_A + x_{C'}}{2} = \frac{1 + 4}{2} = \frac{5}{2} \] \[ y_I = \frac{y_A + y_{C'}}{2} = \frac{0 + 5}{2} = \frac{5}{2} \] \[ z_I = \frac{z_A + z_{C'}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \] Vậy tọa độ của tâm \( I \) là \( \left(\frac{5}{2}, \frac{5}{2}, -2\right) \). Do đó, đáp án đúng là \( D.~I\left(\frac{5}{2}; \frac{5}{2}; -2\right) \). Câu 4: Để tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính \(2\overrightarrow{a}\): \[ 2\overrightarrow{a} = 2 \cdot (2, -3, 3) = (2 \cdot 2, 2 \cdot (-3), 2 \cdot 3) = (4, -6, 6) \] 2. Tính \(3\overrightarrow{b}\): \[ 3\overrightarrow{b} = 3 \cdot (0, 2, -1) = (3 \cdot 0, 3 \cdot 2, 3 \cdot (-1)) = (0, 6, -3) \] 3. Tính \(-2\overrightarrow{c}\): \[ -2\overrightarrow{c} = -2 \cdot (3, -1, 5) = (-2 \cdot 3, -2 \cdot (-1), -2 \cdot 5) = (-6, 2, -10) \] 4. Cộng các vectơ lại để tìm \(\overrightarrow{u}\): \[ \overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c} = (4, -6, 6) + (0, 6, -3) + (-6, 2, -10) \] Tính từng thành phần: - Thành phần \(x\): \(4 + 0 - 6 = -2\) - Thành phần \(y\): \(-6 + 6 + 2 = 2\) - Thành phần \(z\): \(6 - 3 - 10 = -7\) Vậy tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{u}\) là \((-2, 2, -7)\). Do đó, đáp án đúng là \(B.~(-2;2;-7)\). Câu 5: Để tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành, ta cần có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau. Một cách để kiểm tra điều này là kiểm tra xem hai đường chéo có cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường hay không. Giả sử \(D(x;y;z)\) là tọa độ của điểm \(D\). Ta cần tìm tọa độ của \(D\) sao cho trung điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) trùng nhau. 1. Tính trung điểm của đường chéo \(AC\): Tọa độ của \(A\) là \((0; -2; 1)\) và tọa độ của \(C\) là \((1; 0; 0)\). Trung điểm \(M\) của \(AC\) có tọa độ: \[ M\left(\frac{0+1}{2}; \frac{-2+0}{2}; \frac{1+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}; -1; \frac{1}{2}\right) \] 2. Tính trung điểm của đường chéo \(BD\): Tọa độ của \(B\) là \((1; 3; -2)\) và tọa độ của \(D\) là \((x; y; z)\). Trung điểm \(N\) của \(BD\) có tọa độ: \[ N\left(\frac{1+x}{2}; \frac{3+y}{2}; \frac{-2+z}{2}\right) \] 3. Để \(ABCD\) là hình bình hành, ta cần \(M = N\): \[ \begin{cases} \frac{1}{2} = \frac{1+x}{2} \\ -1 = \frac{3+y}{2} \\ \frac{1}{2} = \frac{-2+z}{2} \end{cases} \] Giải hệ phương trình trên: - Từ phương trình thứ nhất: \[ \frac{1}{2} = \frac{1+x}{2} \implies 1 = 1 + x \implies x = 0 \] - Từ phương trình thứ hai: \[ -1 = \frac{3+y}{2} \implies -2 = 3 + y \implies y = -5 \] - Từ phương trình thứ ba: \[ \frac{1}{2} = \frac{-2+z}{2} \implies 1 = -2 + z \implies z = 3 \] Vậy tọa độ của điểm \(D\) là \((0; -5; 3)\). Đáp án đúng là \(A.~D(0;-5;3).\) Câu 6: Để tìm tọa độ của điểm \( A \) trong không gian \( Oxyz \), ta cần lưu ý các thông tin sau: 1. Điểm \( A \) nằm trên tia \( Oy \). Điều này có nghĩa là tọa độ của \( A \) có dạng \( (0; y; 0) \) vì điểm nằm trên trục \( Oy \) thì hoành độ và cao độ đều bằng 0. 2. Độ dài \( OA = 3 \). Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian, ta có: \[ OA = \sqrt{(0 - 0)^2 + (y - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{y^2} = |y| \] Do đó, \( |y| = 3 \). 3. Vì \( A \) nằm trên tia \( Oy \), nên \( y \) phải dương hoặc bằng 0. Do đó, \( y = 3 \). Vậy tọa độ của điểm \( A \) là \( (0; 3; 0) \). Do đó, đáp án đúng là \( A.~A(0;3;0) \). Câu 7: Để tìm tọa độ của điểm \( N \), ta sử dụng tính chất của trung điểm. Trung điểm \( I \) của đoạn thẳng \( MN \) có tọa độ được tính theo công thức: \[ I\left(\frac{x_M + x_N}{2}, \frac{y_M + y_N}{2}, \frac{z_M + z_N}{2}\right) \] Với \( I(-5;0;5) \) và \( M(1;-4;7) \), ta có: 1. Tọa độ \( x \): \[ \frac{1 + x_N}{2} = -5 \implies 1 + x_N = -10 \implies x_N = -11 \] 2. Tọa độ \( y \): \[ \frac{-4 + y_N}{2} = 0 \implies -4 + y_N = 0 \implies y_N = 4 \] 3. Tọa độ \( z \): \[ \frac{7 + z_N}{2} = 5 \implies 7 + z_N = 10 \implies z_N = 3 \] Vậy tọa độ của điểm \( N \) là \( (-11; 4; 3) \). Đáp án đúng là \( \boxed{D} \). Câu 8: Để tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{v} = 2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} + 5\overrightarrow{c}\), ta cần thực hiện các phép tính với các tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\), và \(\overrightarrow{c}\). Trước tiên, ta có các tọa độ của các vectơ: - \(\overrightarrow{a} = (1; 2; 3)\) - \(\overrightarrow{b} = (-2; 4; 1)\) - \(\overrightarrow{c} = (-1; 3; 4)\) Bây giờ, ta tính từng thành phần của vectơ \(\overrightarrow{v}\): 1. Thành phần thứ nhất: \[ 2 \cdot 1 - 3 \cdot (-2) + 5 \cdot (-1) = 2 + 6 - 5 = 3 \] 2. Thành phần thứ hai: \[ 2 \cdot 2 - 3 \cdot 4 + 5 \cdot 3 = 4 - 12 + 15 = 7 \] 3. Thành phần thứ ba: \[ 2 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + 5 \cdot 4 = 6 - 3 + 20 = 23 \] Vậy tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{v}\) là \((3; 7; 23)\). Do đó, đáp án đúng là \(A.~(3; 7; 23)\). Câu 9: Để tìm tọa độ điểm \( B \) trong hình hộp chữ nhật \( ABCD.A'B'C'D' \), ta cần phân tích cấu trúc của hình hộp chữ nhật này. 1. Xác định các đỉnh của hình hộp chữ nhật: - Đỉnh \( A' \) trùng với gốc tọa độ \( O(0, 0, 0) \). - Đỉnh \( D' \) thuộc tia \( Ox \), nên có dạng \( D'(x, 0, 0) \). - Đỉnh \( B' \) thuộc tia \( Oy \), nên có dạng \( B'(0, y, 0) \). - Đỉnh \( A \) thuộc tia \( Oz \), nên có dạng \( A(0, 0, z) \). 2. Tọa độ của đỉnh \( C \): - Đỉnh \( C \) có tọa độ \( (2, 3, 4) \). 3. Quan hệ giữa các đỉnh: - Vì \( C \) là đỉnh đối diện với \( A' \) trong hình hộp chữ nhật, nên tọa độ của \( C \) là tổng của các tọa độ của \( D' \), \( B' \), và \( A \). - Do đó, ta có: \[ D'(x, 0, 0), \quad B'(0, y, 0), \quad A(0, 0, z) \] \[ C(x, y, z) = (2, 3, 4) \] 4. Tìm tọa độ của \( D' \), \( B' \), \( A \): - Từ \( C(x, y, z) = (2, 3, 4) \), ta suy ra: \[ x = 2, \quad y = 3, \quad z = 4 \] 5. Tọa độ của điểm \( B \): - Điểm \( B \) là đỉnh đối diện với \( D' \) trong mặt phẳng \( A'B'C'D' \), nên có tọa độ: \[ B(0, y, z) = (0, 3, 4) \] Vậy tọa độ của điểm \( B \) là \( (0, 3, 4) \).