Giúp mình với!

Câu 18: Để ba điểm \( M \), \( N \), \( P \) thẳng hàng, vector \(\overrightarrow{MN}\) và vector \(\overrightarrow{MP}\) phải cùng phương. Điều này có nghĩa là tỷ số giữa các thành phần tương ứng của hai vector này phải bằng nhau. Trước tiên, ta tính vector \(\overrightarrow{MN}\): \[ \overrightarrow{MN} = (x_N - x_M, y_N - y_M) = (-3 - 5, 5 - 3) = (-8, 2) \] Giả sử điểm \( P \) có tọa độ \( P(x; 0) \) vì \( P \) nằm trên trục hoành (tức là \( y = 0 \)). Vector \(\overrightarrow{MP}\) là: \[ \overrightarrow{MP} = (x - 5, 0 - 3) = (x - 5, -3) \] Để \(\overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{MP}\) cùng phương, ta có: \[ \frac{x - 5}{-8} = \frac{-3}{2} \] Giải phương trình trên: \[ 2(x - 5) = -8 \times (-3) \] \[ 2x - 10 = 24 \] \[ 2x = 34 \] \[ x = 17 \] Vậy tọa độ của điểm \( P \) là \( P(17; 0) \). Kết luận: Điểm \( P \) có tọa độ \( (17; 0) \) nằm trên trục hoành sao cho ba điểm \( M \), \( N \), \( P \) thẳng hàng. Câu 19: Để tìm tọa độ điểm \( M(x; y) \) sao cho \(\overrightarrow{AM} + 2\overrightarrow{BM} + 3\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{0}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính các vectơ \(\overrightarrow{AM}\), \(\overrightarrow{BM}\), \(\overrightarrow{CM}\): - Vectơ \(\overrightarrow{AM} = (x - 1; y - 2)\). - Vectơ \(\overrightarrow{BM} = (x + 2; y - 0) = (x + 2; y)\). - Vectơ \(\overrightarrow{CM} = (x - 0; y - 5) = (x; y - 5)\). 2. Thiết lập phương trình vectơ: \[ \overrightarrow{AM} + 2\overrightarrow{BM} + 3\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{0} \] Thay các vectơ đã tính vào phương trình: \[ (x - 1; y - 2) + 2(x + 2; y) + 3(x; y - 5) = (0; 0) \] 3. Tách thành hệ phương trình: - Phương trình cho hoành độ: \[ (x - 1) + 2(x + 2) + 3x = 0 \] - Phương trình cho tung độ: \[ (y - 2) + 2y + 3(y - 5) = 0 \] 4. Giải hệ phương trình: - Giải phương trình hoành độ: \[ x - 1 + 2x + 4 + 3x = 0 \implies 6x + 3 = 0 \implies 6x = -3 \implies x = -\frac{1}{2} \] - Giải phương trình tung độ: \[ y - 2 + 2y + 3y - 15 = 0 \implies 6y - 17 = 0 \implies 6y = 17 \implies y = \frac{17}{6} \] 5. Kết luận: Tọa độ điểm \( M \) là \(\left(-\frac{1}{2}; \frac{17}{6}\right)\). Câu 20: Để giải bài toán này, ta cần xác định điểm \( K \) sao cho \( 3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} - 12\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{0} \). Bước 1: Phân tích điều kiện của bài toán Ta có phương trình vectơ: \[ 3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} = 12\overrightarrow{AK}. \] Chia cả hai vế cho 12, ta được: \[ \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AK}. \] Điều này có nghĩa là vectơ \(\overrightarrow{AK}\) là tổ hợp tuyến tính của \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\). Bước 2: Biểu diễn \(\overrightarrow{AK}\) theo \(\overrightarrow{A}\), \(\overrightarrow{B}\), \(\overrightarrow{C}\) Giả sử \( \overrightarrow{A} = \overrightarrow{0} \), ta có: \[ \overrightarrow{B} = \overrightarrow{AB}, \quad \overrightarrow{C} = \overrightarrow{AC}. \] Khi đó: \[ \overrightarrow{K} = \frac{1}{4}\overrightarrow{B} + \frac{1}{6}\overrightarrow{C}. \] Bước 3: Xác định tọa độ của \( K \) Tọa độ của \( K \) được xác định bởi: \[ \overrightarrow{K} = \frac{1}{4}\overrightarrow{B} + \frac{1}{6}\overrightarrow{C}. \] Điều này có nghĩa là \( K \) chia đoạn thẳng nối từ \( B \) đến \( C \) theo tỉ lệ \( \frac{1}{4} : \frac{1}{6} \). Tính tỉ lệ: \[ \frac{1}{4} : \frac{1}{6} = \frac{3}{2}. \] Do đó, \( K \) chia đoạn \( BC \) theo tỉ lệ \( 3:2 \). Kết luận: Điểm \( K \) là điểm chia đoạn thẳng \( BC \) theo tỉ lệ \( 3:2 \), với \( K \) gần \( B \) hơn. Câu 21: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các tính chất của trọng tâm và các phép biến đổi vectơ. Trước tiên, ta nhắc lại rằng trọng tâm \( G \) của tam giác \( \Delta ABC \) được xác định bởi công thức: \[ \overrightarrow{G} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3} \] Bây giờ, xét phương trình vectơ đã cho: \[ 2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0} \] Ta có: \[ \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{A}, \quad \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{B}, \quad \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{C} \] Thay vào phương trình trên, ta được: \[ 2(\overrightarrow{M} - \overrightarrow{A}) + (\overrightarrow{M} - \overrightarrow{B}) + 3(\overrightarrow{M} - \overrightarrow{C}) = \overrightarrow{0} \] Rút gọn phương trình: \[ 2\overrightarrow{M} - 2\overrightarrow{A} + \overrightarrow{M} - \overrightarrow{B} + 3\overrightarrow{M} - 3\overrightarrow{C} = \overrightarrow{0} \] \[ (2 + 1 + 3)\overrightarrow{M} - 2\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} - 3\overrightarrow{C} = \overrightarrow{0} \] \[ 6\overrightarrow{M} = 2\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + 3\overrightarrow{C} \] Chia cả hai vế cho 6, ta có: \[ \overrightarrow{M} = \frac{1}{3}\overrightarrow{A} + \frac{1}{6}\overrightarrow{B} + \frac{1}{2}\overrightarrow{C} \] Tiếp theo, ta tìm \(\overrightarrow{GM}\): \[ \overrightarrow{GM} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{G} = \left(\frac{1}{3}\overrightarrow{A} + \frac{1}{6}\overrightarrow{B} + \frac{1}{2}\overrightarrow{C}\right) - \left(\frac{1}{3}\overrightarrow{A} + \frac{1}{3}\overrightarrow{B} + \frac{1}{3}\overrightarrow{C}\right) \] \[ = \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{3}\right)\overrightarrow{A} + \left(\frac{1}{6} - \frac{1}{3}\right)\overrightarrow{B} + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right)\overrightarrow{C} \] \[ = 0\overrightarrow{A} - \frac{1}{6}\overrightarrow{B} + \frac{1}{6}\overrightarrow{C} \] \[ = \frac{1}{6}(\overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}) \] Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{GM} = \frac{1}{6}\overrightarrow{BC} \] Theo đề bài, \(\overrightarrow{k\overrightarrow{GM}} = \overrightarrow{BC}\), suy ra: \[ k \cdot \frac{1}{6}\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BC} \] Giải phương trình này, ta tìm được: \[ k = 6 \] Vậy, giá trị của \( k \) là \( 6 \). Câu 22: Để giải bài toán này, ta cần tìm tập hợp điểm \( M \) thỏa mãn điều kiện đã cho. Ta sẽ sử dụng phương pháp hình học vectơ để giải quyết bài toán. Bước 1: Phân tích điều kiện Điều kiện của bài toán là: \[ |4\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}| = |2\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC}| \] Bước 2: Biến đổi vectơ Ta đặt: \[ \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA}, \quad \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OB}, \quad \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OC} \] Thay vào điều kiện, ta có: \[ |4(\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA}) + (\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OC})| = |2(\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA}) - (\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OB}) - (\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OC})| \] Rút gọn: \[ |6\overrightarrow{OM} - 4\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}| = |2\overrightarrow{OM} - 2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}| \] Bước 3: Đặt phương trình vectơ Đặt \(\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{x}\), ta có: \[ |6\overrightarrow{x} - 4\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}| = |2\overrightarrow{x} - 2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}| \] Bước 4: Giải phương trình Để hai vectơ có cùng độ dài, ta có thể sử dụng điều kiện: \[ (6\overrightarrow{x} - 4\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}) = \pm (2\overrightarrow{x} - 2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) \] Xét trường hợp: 1. \(6\overrightarrow{x} - 4\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{x} - 2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}\) \[ 4\overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC} \] \[ \overrightarrow{x} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) \] Điều này cho thấy \( M \) là trọng tâm của tam giác \( \Delta ABC \). 2. \(6\overrightarrow{x} - 4\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = -(2\overrightarrow{x} - 2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})\) \[ 6\overrightarrow{x} - 4\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = -2\overrightarrow{x} + 2\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} \] \[ 8\overrightarrow{x} = 6\overrightarrow{OA} \] \[ \overrightarrow{x} = \frac{3}{4}\overrightarrow{OA} \] Điều này cho thấy \( M \) nằm trên đoạn \( OA \) và cách \( O \) một khoảng bằng \(\frac{3}{4}\) độ dài đoạn \( OA \). Kết luận: Tập hợp điểm \( M \) thỏa mãn điều kiện đã cho là điểm trọng tâm của tam giác \( \Delta ABC \) và điểm nằm trên đoạn \( OA \) cách \( O \) một khoảng bằng \(\frac{3}{4}\) độ dài đoạn \( OA \).