Giúp mình với!

Câu 16: Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt xem xét từng phần và sử dụng các kiến thức về hình học tọa độ. a) Tìm tọa độ điểm D sao cho C là trọng tâm tam giác ABD Trọng tâm của tam giác là điểm có tọa độ bằng trung bình cộng tọa độ của ba đỉnh. Giả sử tọa độ của các điểm A, B, C lần lượt là \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), \( C(x_3, y_3) \). Tọa độ của trọng tâm G là: \[ G\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right) \] Cho \( C \) là trọng tâm của tam giác \( ABD \), ta có: \[ C\left(\frac{x_A + x_B + x_D}{3}, \frac{y_A + y_B + y_D}{3}\right) = C(x_3, y_3) \] Giả sử \( C(x_3, y_3) = (x_C, y_C) \), ta có: \[ x_C = \frac{x_A + x_B + x_D}{3}, \quad y_C = \frac{y_A + y_B + y_D}{3} \] Giải hệ phương trình này để tìm \( x_D \) và \( y_D \). b) Tìm tọa độ điểm E thuộc trục hoành sao cho A, B, E thẳng hàng Điểm E thuộc trục hoành có dạng \( E(x, 0) \). Để ba điểm A, B, E thẳng hàng, vector \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AE} \) phải cùng phương, tức là: \[ \overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{AE} \] Giải phương trình này để tìm \( x \). c) Tìm tọa độ điểm F thỏa mãn \(\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{CF}\) Sử dụng các phép toán vector để giải phương trình vector: \[ \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{BC} - 2\overrightarrow{AC} + 2\overrightarrow{CF} \] Biểu diễn các vector theo tọa độ và giải hệ phương trình để tìm tọa độ của F. d) Tìm tọa độ điểm F thỏa mãn \(\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{CF}\) Sử dụng các phép toán vector để giải phương trình vector: \[ \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{BC} - 2\overrightarrow{AC} + 2\overrightarrow{CF} \] Biểu diễn các vector theo tọa độ và giải hệ phương trình để tìm tọa độ của F. Kết luận Sau khi thực hiện các bước trên, ta sẽ tìm được tọa độ của các điểm D, E, và F theo yêu cầu của bài toán. Câu 17: Hai vectơ cùng phương khi tọa độ của chúng tỉ lệ với nhau, tức là: \[ \frac{2m - 1}{-2} = \frac{-2}{m + 3} \] Bây giờ ta sẽ giải phương trình này để tìm giá trị của \( m \). Nhân chéo để loại bỏ mẫu số: \[ (2m - 1)(m + 3) = (-2)(-2) \] \[ (2m - 1)(m + 3) = 4 \] Phát triển vế trái: \[ 2m^2 + 6m - m - 3 = 4 \] \[ 2m^2 + 5m - 3 = 4 \] Chuyển 4 sang vế trái: \[ 2m^2 + 5m - 3 - 4 = 0 \] \[ 2m^2 + 5m - 7 = 0 \] Giải phương trình bậc hai \( 2m^2 + 5m - 7 = 0 \) bằng công thức nghiệm: \[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó \( a = 2 \), \( b = 5 \), và \( c = -7 \): \[ m = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7)}}{2 \cdot 2} \] \[ m = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 56}}{4} \] \[ m = \frac{-5 \pm \sqrt{81}}{4} \] \[ m = \frac{-5 \pm 9}{4} \] Từ đây, ta có hai nghiệm: \[ m_1 = \frac{-5 + 9}{4} = \frac{4}{4} = 1 \] \[ m_2 = \frac{-5 - 9}{4} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} \] Bây giờ, tính tổng bình phương các giá trị của \( m \): \[ m_1^2 + m_2^2 = 1^2 + \left(-\frac{7}{2}\right)^2 \] \[ = 1 + \frac{49}{4} \] \[ = \frac{4}{4} + \frac{49}{4} \] \[ = \frac{53}{4} \] Vậy tổng bình phương các giá trị của \( m \) là: \[ \boxed{\frac{53}{4}} \]