Cho tam giác ABC nhọn (AB< AC ) có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H . a) Chứng minh 4 điểm A,E,D,H cg thuộc một đg tròn . b) Gọi I là trung điểm của BC ,K là điểm đối xứng vs H qua I . Chứng minh...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh 4 điểm A, E, D, H cùng thuộc một đường tròn. Để chứng minh 4 điểm A, E, D, H cùng thuộc một đường tròn, ta cần chứng minh rằng tứ giác AEDH là tứ giác nội tiếp. - Xét tam giác ABC, ta có BD và CE là hai đường cao, do đó \( \angle BHD = 90^\circ \) và \( \angle CHE = 90^\circ \). - Xét tứ giác AEDH, ta có: - \( \angle AHD = 180^\circ - \angle BHD = 90^\circ \). - \( \angle AHE = 180^\circ - \angle CHE = 90^\circ \). Vì \( \angle AHD + \angle AHE = 180^\circ \), nên tứ giác AEDH là tứ giác nội tiếp. Do đó, 4 điểm A, E, D, H cùng thuộc một đường tròn. b) Gọi I là trung điểm của BC, K là điểm đối xứng với H qua I. Chứng minh tam giác ACK là tam giác vuông. - Vì I là trung điểm của BC, nên \( BI = IC \). - K là điểm đối xứng với H qua I, do đó \( IK = IH \) và \( \angle BIK = \angle BIH = 90^\circ \). Xét tam giác ACK: - Ta có \( \angle ACB = 90^\circ \) (vì BD là đường cao). - Do đó, \( \angle ACK = 90^\circ \). Vậy tam giác ACK là tam giác vuông tại C. c) Chứng minh: \( BE \cdot BA + CD \cdot CA = 4IC^2 \). - Ta có I là trung điểm của BC, do đó \( BI = IC \). - Xét tam giác BIC vuông tại I, ta có \( BI^2 + IC^2 = BC^2 \). Để chứng minh \( BE \cdot BA + CD \cdot CA = 4IC^2 \), ta cần sử dụng một số tính chất hình học và định lý liên quan đến đường cao và trung điểm. - Từ tính chất của đường cao trong tam giác, ta có: - \( BE \cdot BA = BD^2 \) (vì BD là đường cao từ B). - \( CD \cdot CA = CE^2 \) (vì CE là đường cao từ C). - Do đó, ta cần chứng minh: \[ BD^2 + CE^2 = 4IC^2 \] - Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác BIC vuông tại I: \[ BI^2 + IC^2 = BC^2 \] - Vì \( BI = IC \), nên \( 2IC^2 = BC^2 \). - Từ đó, ta có: \[ BD^2 + CE^2 = 2IC^2 + 2IC^2 = 4IC^2 \] Vậy, \( BE \cdot BA + CD \cdot CA = 4IC^2 \) được chứng minh. Trên đây là lời giải chi tiết cho từng phần của bài toán.