cho 3 điểm A(3,0) , B(1,2) ,C(-2,1) a. chứng minh A,B,C không thẳng hàng (Tính vectơ Ab và Ac ) b. tìm toạ độ điểm H là trực tâm tâm giác ABC Toạ độ Trung điểm BC c. tìm toạ độ trọng tâm tâm giác ABC d...

Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một cách chi tiết. a. Chứng minh A, B, C không thẳng hàng Để chứng minh ba điểm không thẳng hàng, ta cần chứng minh rằng các vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) không cùng phương. - Tính \(\overrightarrow{AB} = (1 - 3, 2 - 0) = (-2, 2)\). - Tính \(\overrightarrow{AC} = (-2 - 3, 1 - 0) = (-5, 1)\). Hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) không cùng phương nếu tỉ số các thành phần tương ứng của chúng không bằng nhau: \[ \frac{-2}{-5} \neq \frac{2}{1} \] Do đó, \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) không cùng phương, suy ra ba điểm A, B, C không thẳng hàng. b. Tìm tọa độ điểm H là trực tâm tam giác ABC Trực tâm của tam giác là giao điểm của ba đường cao. Để tìm trực tâm, ta cần tìm phương trình của hai đường cao và tìm giao điểm của chúng. - Đường cao từ A vuông góc với BC: - Hệ số góc của BC: \(m_{BC} = \frac{1 - 2}{-2 - 1} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}\). - Hệ số góc của đường cao từ A: \(m = -3\). - Phương trình đường cao từ A: \(y - 0 = -3(x - 3)\) hay \(y = -3x + 9\). - Đường cao từ B vuông góc với AC: - Hệ số góc của AC: \(m_{AC} = \frac{1 - 0}{-2 - 3} = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5}\). - Hệ số góc của đường cao từ B: \(m = 5\). - Phương trình đường cao từ B: \(y - 2 = 5(x - 1)\) hay \(y = 5x - 3\). Giao điểm của hai đường cao là nghiệm của hệ phương trình: \[ \begin{cases} y = -3x + 9 \\ y = 5x - 3 \end{cases} \] Giải hệ phương trình: \[ -3x + 9 = 5x - 3 \\ 9 + 3 = 5x + 3x \\ 12 = 8x \\ x = \frac{3}{2} \] Thay \(x = \frac{3}{2}\) vào phương trình \(y = -3x + 9\): \[ y = -3 \times \frac{3}{2} + 9 = -\frac{9}{2} + 9 = \frac{9}{2} \] Vậy tọa độ trực tâm H là \(\left(\frac{3}{2}, \frac{9}{2}\right)\). c. Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC Trọng tâm G của tam giác có tọa độ là trung bình cộng của tọa độ ba đỉnh: \[ G\left(\frac{3 + 1 - 2}{3}, \frac{0 + 2 + 1}{3}\right) = G\left(\frac{2}{3}, 1\right) \] d. Tìm điểm D sao cho ABCD là hình bình hành Điểm D phải thỏa mãn \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\). - Tính \(\overrightarrow{BC} = (-2 - 1, 1 - 2) = (-3, -1)\). - Điểm D có tọa độ: \(D(x, y)\) thỏa mãn \((x - 3, y - 0) = (-3, -1)\). Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} x - 3 = -3 \\ y = -1 \end{cases} \] Suy ra \(x = 0\), \(y = -1\). Vậy tọa độ điểm D là \(D(0, -1)\). e. Tìm điểm M thỏa mãn \(2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}\) Điểm M thỏa mãn: \[ 2(x - 3, y - 0) + 3(x - 1, y - 2) = (0, 0) \] Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} 2(x - 3) + 3(x - 1) = 0 \\ 2y + 3(y - 2) = 0 \end{cases} \] Giải phương trình thứ nhất: \[ 2x - 6 + 3x - 3 = 0 \\ 5x = 9 \\ x = \frac{9}{5} \] Giải phương trình thứ hai: \[ 2y + 3y - 6 = 0 \\ 5y = 6 \\ y = \frac{6}{5} \] Vậy tọa độ điểm M là \(\left(\frac{9}{5}, \frac{6}{5}\right)\).