Cho hàm số bậc nhất $y=ax+b$ có đồ thị đi qua điểm $M\left(1;4\right)$. Biết rằng đồ thị của hàm số đó cắt trục $Ox$ tại $P$ có hoành độ dương và cắt trục $Oy$ tại điểm Q có tung độ dương. Tìm $a$ và $b$ sao cho $OP+OQ$ nhỏ nhất (với $O$ là gốc tọa độ).

Question

Accepted Answer

{"userId":5045803,"userName":"minhthu_"}Ta có hàm bậc nhất y=ax+by=ax+by=ax+b đi qua M(1,4)M(1,4)M(1,4) nên

a+b=4(1).a+b=4 \quad(1).a+b=4(1).Giao với trục OxOxOx tại PPP có hoành độ

xP=−ba,x_P=-\frac{b}{a},xP=−ab,với điều kiện xP>0x_P>0xP>0 nên −ba>0⇒a<0, b>0-\dfrac{b}{a}>0\Rightarrow a<0,\ b>0−ab>0⇒a<0, b>0.

Giao với trục OyOyOy tại Q(0,b)Q(0,b)Q(0,b) và b>0b>0b>0.

Ta cần tìm a,ba,ba,b sao cho

S=OP+OQ=xP+b=−ba+bS=OP+OQ = x_P + b = -\frac{b}{a} + bS=OP+OQ=xP+b=−ab+bnhỏ nhất, với a+b=4a+b=4a+b=4.

Từ (1) suy ra a=4−ba=4-ba=4−b. Do a<0a<0a<0 nên 4−b<0⇒b>44-b<0\Rightarrow b>44−b<0⇒b>4.

Thay vào SSS:

S(b)=−b4−b+b=b+bb−4,b>4.S(b)= -\frac{b}{4-b}+b = b + \frac{b}{b-4},\qquad b>4.S(b)=−4−bb+b=b+b−4b,b>4.Tối thiểu hoá hàm S(b)S(b)S(b) trên miền b>4b>4b>4. Lấy đạo hàm:

S′(b)=1−4(b−4)2.S'(b)=1-\frac{4}{(b-4)^2}.S′(b)=1−(b−4)24.Giải S′(b)=0S'(b)=0S′(b)=0:

1=4(b−4)2⇒(b−4)2=4⇒b−4=±2.1=\frac{4}{(b-4)^2}\Rightarrow (b-4)^2=4\Rightarrow b-4=\pm2.1=(b−4)24⇒(b−4)2=4⇒b−4=±2.Vì b>4b>4b>4 nên b−4=2⇒b=6b-4=2\Rightarrow b=6b−4=2⇒b=6.

Kiểm tra dấu bằng đạo hàm bậc hai:

S′′(b)=8(b−4)3.S''(b)=\frac{8}{(b-4)^3}.S′′(b)=(b−4)38.Với b>4b>4b>4 ta có S′′(b)>0S''(b)>0S′′(b)>0 nên b=6b=6b=6 là điểm cực tiểu.

Từ a=4−ba=4-ba=4−b suy ra a=4−6=−2a=4-6=-2a=4−6=−2.

Ta kiểm tra nhanh:

OP=−ba=−6−2=3,OQ=b=6,OP+OQ=9.OP = -\frac{b}{a} = -\frac{6}{-2}=3,\qquad OQ=b=6,\qquad OP+OQ=9.OP=−ab=−−26=3,OQ=b=6,OP+OQ=9.Kết luận

Giá trị a,ba,ba,b để OP+OQOP+OQOP+OQ nhỏ nhất là

a=−2,b=6.\boxed{a=-2,\quad b=6.}a=−2,b=6.

Cho hàm số bậc nhất $y=ax+b$ có đồ thị đi qua điểm $M\left(1;4\right)$. Biết rằng đồ thị của hàm số đó cắt trục $Ox$ tại $P$ có hoành độ dương và cắt trục $Oy$ tại điểm Q có tung độ dương. Tìm $a$ và...