giải cho tôi

Câu 1: Để tính cường độ lực tổng hợp của hai lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$, ta sử dụng quy tắc hình bình hành. Theo quy tắc này, cường độ của lực tổng hợp $\overrightarrow{F}$ được tính bằng công thức: \[ F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta} \] Trong đó: - $F_1 = 90$ N là cường độ của lực $\overrightarrow{F_1}$. - $F_2 = 90$ N là cường độ của lực $\overrightarrow{F_2}$. - $\theta = 120^\circ$ là góc giữa hai lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$. Thay các giá trị vào công thức, ta có: \[ F = \sqrt{90^2 + 90^2 + 2 \times 90 \times 90 \times \cos 120^\circ} \] Ta biết rằng $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$, do đó: \[ F = \sqrt{90^2 + 90^2 + 2 \times 90 \times 90 \times \left(-\frac{1}{2}\right)} \] \[ F = \sqrt{8100 + 8100 - 8100} \] \[ F = \sqrt{8100} \] \[ F = 90 \text{ N} \] Vậy, cường độ lực tổng hợp của hai lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ là 90 N. Câu 2: Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Biểu diễn các vectơ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$. 1. Tìm tọa độ của điểm D: Điểm D là điểm đối xứng của A qua B, do đó: \[ \overrightarrow{BD} = -\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AB} \] Suy ra: \[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AB} \] 2. Tìm tọa độ của điểm K: Điểm K nằm trên đoạn AC sao cho $3AK = 2KC$. Do đó, K chia đoạn AC theo tỉ lệ $3:2$. Sử dụng công thức chia đoạn thẳng trong tỉ lệ, ta có: \[ \overrightarrow{AK} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AC} \] Suy ra: \[ \overrightarrow{CK} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AC} - \frac{2}{3} \overrightarrow{AC} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} \] Bước 2: Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{DK}$ và $\overrightarrow{DG}$. 1. Biểu diễn $\overrightarrow{DK}$: \[ \overrightarrow{DK} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AK} = -\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AK} = -2\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3} \overrightarrow{AC} \] 2. Tìm tọa độ của trọng tâm G: Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ: \[ \overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \] 3. Biểu diễn $\overrightarrow{DG}$: \[ \overrightarrow{DG} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AG} = -2\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \] \[ = -2\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} = -\frac{6}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} \] \[ = -\frac{5}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} \] Bước 3: Chứng minh 3 điểm D, G, K thẳng hàng. Để chứng minh 3 điểm D, G, K thẳng hàng, ta cần chứng minh rằng các vectơ $\overrightarrow{DK}$ và $\overrightarrow{DG}$ là cùng phương, tức là tồn tại một số thực $k$ sao cho: \[ \overrightarrow{DK} = k \cdot \overrightarrow{DG} \] Từ các biểu thức đã tìm được: \[ \overrightarrow{DK} = -2\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3} \overrightarrow{AC} \] \[ \overrightarrow{DG} = -\frac{5}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} \] Ta thấy rằng: \[ \overrightarrow{DK} = 3 \cdot \overrightarrow{DG} \] Vì $\overrightarrow{DK} = 3 \cdot \overrightarrow{DG}$, nên các vectơ $\overrightarrow{DK}$ và $\overrightarrow{DG}$ cùng phương, do đó 3 điểm D, G, K thẳng hàng. Vậy, ta đã chứng minh được rằng 3 điểm D, G, K thẳng hàng. Câu 3: Để tìm tọa độ điểm \( M \) thuộc trục tung sao cho \(\widehat{AMB} = 90^\circ\), ta cần đảm bảo rằng đường thẳng \( AM \) vuông góc với đường thẳng \( BM \). Vì \( M \) thuộc trục tung, nên tọa độ của \( M \) có dạng \( M(0; y) \). Bước 1: Tính hệ số góc của đường thẳng \( AM \) và \( BM \) - Hệ số góc của đường thẳng \( AM \) là: \[ k_{AM} = \frac{y - 7}{0 - 3} = \frac{y - 7}{-3} \] - Hệ số góc của đường thẳng \( BM \) là: \[ k_{BM} = \frac{y + 4}{0 - 6} = \frac{y + 4}{-6} \] Bước 2: Điều kiện vuông góc Hai đường thẳng \( AM \) và \( BM \) vuông góc khi tích hệ số góc của chúng bằng \(-1\): \[ k_{AM} \cdot k_{BM} = -1 \] Thay các giá trị đã tính vào: \[ \frac{y - 7}{-3} \cdot \frac{y + 4}{-6} = -1 \] Rút gọn phương trình: \[ \frac{(y - 7)(y + 4)}{18} = -1 \] Nhân cả hai vế với 18: \[ (y - 7)(y + 4) = -18 \] Khai triển và giải phương trình bậc hai: \[ y^2 + 4y - 7y - 28 = -18 \] \[ y^2 - 3y - 28 = -18 \] \[ y^2 - 3y - 10 = 0 \] Bước 3: Giải phương trình bậc hai Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] với \( a = 1, b = -3, c = -10 \). Tính toán: \[ b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \] \[ y = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2} \] Từ đó, ta có hai nghiệm: \[ y_1 = \frac{3 + 7}{2} = 5 \] \[ y_2 = \frac{3 - 7}{2} = -2 \] Kết luận: Tọa độ của điểm \( M \) có thể là \( M(0; 5) \) hoặc \( M(0; -2) \). Câu 4: Để tìm diện tích của sân bóng đá hình chữ nhật, ta cần tính diện tích theo công thức: \[ S = x \times y \] Trong đó: - \( x = 25~m \pm 3~cm \) - \( y = 45~cm \) Trước tiên, ta cần chuyển đổi đơn vị của các cạnh về cùng một đơn vị đo. Ở đây, ta sẽ chuyển đổi tất cả về đơn vị mét. 1. Chuyển đổi đơn vị: - \( x = 25~m \pm 3~cm = 25~m \pm 0.03~m \) - \( y = 45~cm = 0.45~m \) 2. Tính diện tích: - Diện tích lớn nhất khi \( x = 25.03~m \) và \( y = 0.45~m \): \[ S_{\text{max}} = 25.03 \times 0.45 = 11.2635~m^2 \] - Diện tích nhỏ nhất khi \( x = 24.97~m \) và \( y = 0.45~m \): \[ S_{\text{min}} = 24.97 \times 0.45 = 11.2365~m^2 \] 3. Quy tròn diện tích: - Diện tích lớn nhất sau khi quy tròn là \( 11.26~m^2 \). - Diện tích nhỏ nhất sau khi quy tròn là \( 11.24~m^2 \). Vậy, diện tích của sân bóng đá sau khi quy tròn nằm trong khoảng từ \( 11.24~m^2 \) đến \( 11.26~m^2 \). Câu 5: Để tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu, chúng ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần. \[ 3,5; 5,5; 6; 6; 7; 8,5; 9; 10,5 \] Bước 2: Tìm giá trị của các tứ phân vị Q1, Q2 và Q3. - Q2 (trung vị) là giá trị ở giữa của dãy số đã sắp xếp. Vì có 8 số liệu, nên trung vị sẽ là trung bình cộng của hai số ở giữa: \[ Q2 = \frac{6 + 7}{2} = 6,5 \] - Q1 là trung vị của nửa dưới của dãy số (các số từ đầu đến Q2): \[ 3,5; 5,5; 6; 6 \] Trung vị của dãy này là: \[ Q1 = \frac{5,5 + 6}{2} = 5,75 \] - Q3 là trung vị của nửa trên của dãy số (các số từ Q2 đến cuối): \[ 7; 8,5; 9; 10,5 \] Trung vị của dãy này là: \[ Q3 = \frac{8,5 + 9}{2} = 8,75 \] Bước 3: Tính khoảng tứ phân vị (IQR): \[ IQR = Q3 - Q1 = 8,75 - 5,75 = 3 \] Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là 3. Câu 6: a) Ta thấy kết quả đo ở lần thứ 7 là 6,4 mm khác biệt so với các kết quả đo trước đó, vì vậy bạn Việt cho rằng kết quả đo này không chính xác. b) Để tìm giá trị xấp xỉ cho đường kính của viên bi, ta tính trung bình cộng của các kết quả đo còn lại: (6,5 + 6,51 + 6,5 + 6,52 + 6,49) : 5 = 32,52 : 5 = 6,504 (mm) Vậy giá trị xấp xỉ cho đường kính của viên bi là 6,504 mm.