Tìm số tự nhiên $x$, biết: $\dfrac{2^{x+3} + 2^{x+2} + 2^x}{13} = \dfrac{3^{2x} + 3^{2x+1} + 3^{2x+2} + 3^{2x+3}}{40}$

Question

phamtuyen · Accepted Answer

Timi · Answer

Để giải phương trình đã cho:

$$
\dfrac{2^{x+3} + 2^{x+2} + 2^x}{13} = \dfrac{3^{2x} + 3^{2x+1} + 3^{2x+2} + 3^{2x+3}}{40}
$$

Đầu tiên, ta sẽ đơn giản hóa hai vế của phương trình.

**Bên trái:**

$$
2^{x+3} + 2^{x+2} + 2^x = 2^x(2^3 + 2^2 + 1) = 2^x(8 + 4 + 1) = 2^x \cdot 13
$$

Vậy bên trái trở thành:

$$
\dfrac{2^x \cdot 13}{13} = 2^x
$$

**Bên phải:**

$$
3^{2x} + 3^{2x+1} + 3^{2x+2} + 3^{2x+3} = 3^{2x}(1 + 3 + 3^2 + 3^3) = 3^{2x}(1 + 3 + 9 + 27) = 3^{2x} \cdot 40
$$

Vậy bên phải trở thành:

$$
\dfrac{3^{2x} \cdot 40}{40} = 3^{2x}
$$

Như vậy, phương trình trở thành:

$$
2^x = 3^{2x}
$$

Ta sẽ chuyển đổi phương trình này thành:

$$
\left(\dfrac{2}{3^2}\right)^x = 1
$$

Điều này chỉ xảy ra khi $ x = 0 $. Để kiểm tra, ta sẽ thay $ x = 0 $ vào phương trình ban đầu:

$$
2^{0+3} + 2^{0+2} + 2^0 = 2^3 + 2^2 + 1 = 8 + 4 + 1 = 13
$$

Và bên phải:

$$
3^{2\cdot0} + 3^{2\cdot0+1} + 3^{2\cdot0+2} + 3^{2\cdot0+3} = 1 + 3 + 9 + 27 = 40
$$

Thay vào phương trình:

$$
\dfrac{13}{13} = \dfrac{40}{40} \Rightarrow 1 = 1
$$

Vậy nghiệm của phương trình là:

$$
\boxed{0}
$$

Huycindy · Answer

$\dfrac{2^{x+3} + 2^{x+2} + 2^x}{13} = \dfrac{3^{2x} + 3^{2x+1} + 3^{2x+2} + 3^{2x+3}}{40}$
$\dfrac{2^x \cdot (2^3 + 2^2 + 1)}{13} = \dfrac{3^{2x} \cdot (1 + 3 + 3^2 + 3^3)}{40}$
$\dfrac{2^x \cdot 13}{13} = \dfrac{3^{2x} \cdot 40}{40}$
$2^x = 3^{2x}$
$2^x = 9^x$
$\left(\dfrac{2}{9}\right)^x = 1$
$x = 0$