« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $8$ Hai người làm chung công việc thì sau $2$ giờ làm xong. Nếu hai người làm riêng thì người thứ hai làm xong công việc đó nhiều hơn thời gian người thứ nhất làm là $3$ giờ, H...

Để giải bài toán này, ta sẽ đặt thời gian mỗi người làm riêng là \( x \) giờ cho người thứ nhất và \( y \) giờ cho người thứ hai. Theo đề bài, ta có hai thông tin: 1. Hai người làm chung thì sau \( 2 \) giờ hoàn thành công việc. 2. Người thứ hai làm xong công việc nhiều hơn thời gian người thứ nhất làm là \( 3 \) giờ, tức là \( y = x + 3 \). Từ thông tin đầu tiên, khi hai người làm chung, ta có thể viết công thức như sau: \[ \frac{2}{x} + \frac{2}{y} = 1 \] Trong đó \( \frac{2}{x} \) là công việc người thứ nhất hoàn thành trong \( 2 \) giờ và \( \frac{2}{y} \) là công việc người thứ hai hoàn thành trong \( 2 \) giờ. Thay \( y \) vào phương trình trên: \[ \frac{2}{x} + \frac{2}{x + 3} = 1 \] Giải phương trình này, ta sẽ nhân cả hai bên với \( x(x + 3) \) để loại bỏ mẫu số: \[ 2(x + 3) + 2x = x(x + 3) \] Tức là: \[ 2x + 6 + 2x = x^2 + 3x \] Rút gọn lại: \[ 4x + 6 = x^2 + 3x \] Chuyển hết về một phía để có phương trình bậc 2: \[ x^2 - x - 6 = 0 \] Giải phương trình bậc 2 này bằng cách sử dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} \] Tính toán: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} \] Có hai nghiệm: 1. \( x = \frac{6}{2} = 3 \) 2. \( x = \frac{-4}{2} = -2 \) (không hợp lệ vì thời gian không thể âm) Vậy \( x = 3 \). Từ đó, ta tính được \( y \): \[ y = x + 3 = 3 + 3 = 6 \] Vậy, người thứ nhất làm riêng thì sau \( 3 \) giờ mới xong công việc, và người thứ hai làm riêng thì sau \( 6 \) giờ mới xong công việc. **Kết luận:** Người thứ nhất làm riêng thì sau \( 3 \) giờ xong, người thứ hai làm riêng thì sau \( 6 \) giờ xong.