« CÂU HỎI Toán học · Lớp $8$ Phân tích $x^4-3x^2+1$ thành nhân tử

Để phân tích đa thức \( x^4 - 3x^2 + 1 \) thành nhân tử, chúng ta có thể đặt \( y = x^2 \). Khi đó, đa thức trở thành: \[ y^2 - 3y + 1 \] Tiếp theo, chúng ta sẽ giải phương trình bậc hai \( y^2 - 3y + 1 = 0 \) bằng công thức nghiệm: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 1 \), \( b = -3 \), và \( c = 1 \). Ta có: \[ y = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} \] \[ = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \] Vậy hai nghiệm của phương trình là: \[ y_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \quad \text{và} \quad y_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \] Quay trở lại với biến \( x \), chúng ta có: \[ x^2 = y_1 \quad \text{và} \quad x^2 = y_2 \] Vậy \( x \) sẽ có các nghiệm: \[ x = \pm \sqrt{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}} \quad \text{và} \quad x = \pm \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}} \] Đa thức \( x^4 - 3x^2 + 1 \) có thể được viết lại dưới dạng: \[ (x^2 - \frac{3 + \sqrt{5}}{2})(x^2 - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}) \] Do đó, ta có thể viết kết quả cuối cùng như sau: \[ x^4 - 3x^2 + 1 = \left(x^2 - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right)\left(x^2 - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\right) \] Đây là phân tích nhân tử của đa thức đã cho.