« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $8$
Tìm giá trị nhỏ nhất Cho a,b,c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn $a+b+c=1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức,$A=24(a^2+b^2+c^2)+\frac{5(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}+1962.$

Question

ft. Hoàng · Accepted Answer

Đáp án + Giải thích:

Ta có $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a + b + c = 1$.

Từ $(a + b + c)^2 = 1^2 = 1$, khai triển hằng đẳng thức lớp 8 ta được:

$a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 1$

Suy ra: $ab + bc + ca = \dfrac{1 - (a^2 + b^2 + c^2)}{2}$

Đặt $t = a^2 + b^2 + c^2$.

Ta luôn có: $(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \ge 0$

$a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 + c^2 - 2ca + a^2 \ge 0$

$2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + bc + ca) \ge 0$

$3(a^2 + b^2 + c^2) - (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca) \ge 0$

$3(a^2 + b^2 + c^2) - (a + b + c)^2 \ge 0$

$3(a^2 + b^2 + c^2) \ge 1$ (do $a + b + c = 1$)

$a^2 + b^2 + c^2 \ge \dfrac{1}{3}$

Do đó: $t \ge \dfrac{1}{3}$.

Thay $t$ vào biểu thức $A$, ta được:

$A = 24t + \dfrac{5 \cdot \dfrac{1 - t}{2}}{t} + 1962$

$A = 24t + \dfrac{5(1 - t)}{2t} + 1962$

$A = 24t + \dfrac{5}{2t} - \dfrac{5}{2} + 1962$

$A = 24t + \dfrac{5}{2t} + \dfrac{3919}{2}$

Ta có:

$A = \left(\dfrac{45t}{2} + \dfrac{5}{2t} - 15 ight) + \dfrac{3t}{2} + 15 + \dfrac{3919}{2}$

$A = \dfrac{45t^2 - 30t + 5}{2t} + \dfrac{3t}{2} + \dfrac{3949}{2}$

$A = \dfrac{5(9t^2 - 6t + 1)}{2t} + \dfrac{3t}{2} + \dfrac{3949}{2}$

$A = \dfrac{5(3t - 1)^2}{2t} + \dfrac{3t - 1}{2} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{3949}{2}$

$A = \dfrac{5(3t - 1)^2}{2t} + \dfrac{3t - 1}{2} + 1975$

Vì $t \ge \dfrac{1}{3} > 0$ nên:

$\dfrac{5(3t - 1)^2}{2t} \ge 0$

$\dfrac{3t - 1}{2} \ge 0$

Suy ra: $A \ge 0 + 0 + 1975 = 1975$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

$\begin{cases}3t - 1 = 0\a = b = c\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}t = \dfrac{1}{3}\a = b = c = \dfrac{1}{3}\end{cases}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A$ là $1975$ khi $a = b = c = \dfrac{1}{3}$.

Timi · Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ A = 24(a^2 + b^2 + c^2) + \frac{5(ab + bc + ca)}{a^2 + b^2 + c^2} + 1962 $ với điều kiện $ a + b + c = 1 $ và $ a, b, c > 0 $, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất và bất đẳng thức.

Bắt đầu, theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
$$
(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc).
$$
Thay vào đó, từ điều kiện $ a + b + c = 1 $, ta có:
$$
1 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc).
$$
Từ đây, ta có thể viết:
$$
a^2 + b^2 + c^2 = 1 - 2(ab + ac + bc).
$$

Đặt $ x = a^2 + b^2 + c^2 $ và $ y = ab + ac + bc $. Theo tính chất của các số thực, ta biết rằng:
$$
x + 2y = 1.
$$
Do đó, $ y = \frac{1 - x}{2} $.

Chúng ta thay thế vào biểu thức $ A $:
$$
A = 24x + \frac{5y}{x} + 1962.
$$
Thay $ y $ vào biểu thức:
$$
A = 24x + \frac{5 \left(\frac{1 - x}{2}\right)}{x} + 1962.
$$
Rút gọn biểu thức:
$$
A = 24x + \frac{5(1 - x)}{2x} + 1962.
$$
Tiếp theo, ta tìm một biểu thức rõ ràng hơn:
$$
A = 24x + \frac{5}{2x} - \frac{5}{2} + 1962.
$$
$$
A = 24x + \frac{5}{2x} + 1962 - \frac{5}{2}.
$$
Tính số hạng không phụ thuộc vào $ x $:
$$
A = 24x + \frac{5}{2x} + 1960.5.
$$

Để tìm giá trị nhỏ nhất của $ A $, ta cần tìm cực trị của $ f(x) = 24x + \frac{5}{2x} $. Ta tính đạo hàm:
$$
f&#x27;(x) = 24 - \frac{5}{2x^2}.
$$
Đặt $ f&#x27;(x) = 0 $:
$$
24 = \frac{5}{2x^2} \implies 48x^2 = 5 \implies x^2 = \frac{5}{48} \implies x = \sqrt{\frac{5}{48}} = \frac{\sqrt{5}}{4\sqrt{3}}.
$$

Ta cần thay giá trị $ x $ vào để tìm $ A $. Tuy nhiên, chúng ta cần kiểm tra giá trị của $ A $ khi $ a, b, c $ bằng nhau (theo bất đẳng thức AM-GM, đây là trường hợp thường cho giá trị nhỏ nhất). Khi $ a = b = c $, từ $ a + b + c = 1 $, ta có $ a = b = c = \frac{1}{3} $.

Tính $ A $ khi $ a = b = c = \frac{1}{3} $:
$$
a^2 + b^2 + c^2 = 3\left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3},
$$
$$
ab + ac + bc = 3\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}\right) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}.
$$
Thay vào biểu thức $ A $:
$$
A = 24\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{5\left(\frac{1}{3}\right)}{\frac{1}{3}} + 1962 = 8 + 5 + 1962 = 1975.
$$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $ A $ là:
$$
\boxed{1975}.
$$

Ninh Hoàng · Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

Đặt $$x=a^2+b^2+c^2$$

Mà $$a,b,c>0;a+b+c=1$$ nên:

$$\left(a+b+c ight)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca ight)=1$$

Suy ra: $$ab+bc+ca=\frac{1-x}{2}$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

$$x=a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c ight)^2}{3}=\frac{1}{3}$$

Ta có:

$$A=24x+\frac{5.\left(1-x ight)}{2x}+1962$$

$$=24x+\frac{5}{2x}-\frac{5}{2}+1962$$

$$=24x+\frac{5}{2x}+\frac{3919}{2}$$

$$=\left(\frac{45x}{2}+\frac{5}{2x} ight)+\frac{3x}{2}+\frac{3919}{2}$$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương $$\frac{45x}{2}$$ và $$\frac{5}{2x}$$:

$$\frac{45x}{2}+\frac{5}{2x}\ge2\sqrt{\frac{45x}{2}.\frac{5}{2x}}=2\sqrt{\frac{225}{4}}=15$$

mà $$\frac{3x}{2}\ge\frac{3.\frac{1}{3}}{2}=\frac{1}{2}$$

Suy ra: $$A\ge15+\frac{1}{2}+\frac{3919}{2}=1975$$

Dấu "=" xảy ra khi: $$\begin{cases}\frac{45x}{2}=\frac{5}{2x} \ x=\frac{1}{3} \ a=b=c\end{cases}$$ hay $$a=b=c=\frac{1}{3}$$

Vậy $$\min A=1975$$ khi $$a=b=c=\frac{1}{3}$$.

Little Wolf / QC · Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

Bạn tham khảo nhé ><

Anh Trí · Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

Ta có: $a, b, c > 0 \Rightarrow a+b+c = 1 \Rightarrow (a+b+c)^2 = 1$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) = 1$

$\Leftrightarrow ab+bc+ca = \frac{1-(a^2+b^2+c^2)}{2}$

Thay vào biểu thức:

$A = 24(a^2+b^2+c^2) + \frac{5 \cdot \frac{1-(a^2+b^2+c^2)}{2}}{a^2+b^2+c^2} + 1962$

$= 24(a^2+b^2+c^2) + \frac{5}{2(a^2+b^2+c^2)} - \frac{5}{2} + 1962$

$= 24(a^2+b^2+c^2) + \frac{5}{2(a^2+b^2+c^2)} + \frac{3919}{2}$

$= \left[ \frac{45}{2}(a^2+b^2+c^2) + \frac{5}{2(a^2+b^2+c^2)} \right] + \frac{3}{2}(a^2+b^2+c^2) + \frac{3919}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

$\frac{45}{2}(a^2+b^2+c^2) + \frac{5}{2(a^2+b^2+c^2)} \ge 2\sqrt{\frac{45}{2} \cdot \frac{5}{2}} = 15$

Mặt khác:

$a^2+b^2+c^2 \ge \frac{(a+b+c)^2}{3} = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow \frac{3}{2}(a^2+b^2+c^2) \ge \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$

Suy ra:

$A \ge 15 + \frac{1}{2} + \frac{3919}{2} = 1975$

Đẳng thức xảy ra khi:

$a = b = c = \frac{1}{3}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $A$ là $1975$.

« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $8$ Tìm giá trị nhỏ nhất