5, Giải hệ phương trình: $\begin{cases}\sqrt{x + 1} + \sqrt{y - 1} = 4\\sqrt{x + 6} + \sqrt{y + 4} = 6\end{cases}$

Question

Off · Accepted Answer

Timi · Answer

Để giải hệ phương trình:

$$
\begin{cases}
\sqrt{x + 1} + \sqrt{y - 1} = 4 \quad (1) \
\sqrt{x + 6} + \sqrt{y + 4} = 6 \quad (2)
\end{cases}
$$

Chúng ta sẽ bắt đầu từ phương trình (1):

1. Từ phương trình (1), chúng ta có thể cô lập một trong các biến, giả sử là $\sqrt{y - 1}$:

$$
\sqrt{y - 1} = 4 - \sqrt{x + 1} \quad (3)
$$

2. Bình phương cả hai vế của phương trình (3):

$$
y - 1 = (4 - \sqrt{x + 1})^2
$$

Khi bình phương, ta có:

$$
y - 1 = 16 - 8\sqrt{x + 1} + (x + 1)
$$

Sắp xếp lại ta được:

$$
y = x + 17 - 8\sqrt{x + 1} \quad (4)
$$

3. Bây giờ ta thay giá trị của $y$ từ phương trình (4) vào phương trình (2):

$$
\sqrt{x + 6} + \sqrt{x + 17 - 8\sqrt{x + 1} + 4} = 6
$$

Sử dụng phương trình (4) để thay $y$:

$$
\sqrt{x + 6} + \sqrt{x + 21 - 8\sqrt{x + 1}} = 6
$$

4. Cô lập $\sqrt{x + 21 - 8\sqrt{x + 1}}$:

$$
\sqrt{x + 21 - 8\sqrt{x + 1}} = 6 - \sqrt{x + 6}
$$

5. Bình phương cả hai vế:

$$
x + 21 - 8\sqrt{x + 1} = (6 - \sqrt{x + 6})^2
$$

Bình phương vế phải:

$$
(6 - \sqrt{x + 6})^2 = 36 - 12\sqrt{x + 6} + (x + 6)
$$

Sắp xếp lại:

$$
x + 21 - 8\sqrt{x + 1} = x + 42 - 12\sqrt{x + 6}
$$

Giải phương trình này cho $\sqrt{x + 1}$ và $\sqrt{x + 6}$:

$$
21 - 8\sqrt{x + 1} = 42 - 12\sqrt{x + 6}
$$

6. Chuyển hạng tử và giải:

$$
-8\sqrt{x + 1} + 12\sqrt{x + 6} = 21
$$

Tuy nhiên, quá trình này có thể phức tạp hơn, vì vậy chúng ta sẽ thử đặt $\sqrt{x + 1} = a$ và $\sqrt{y - 1} = b$ với $a + b = 4$ và phương trình thứ hai cũng sẽ trở nên dễ giải hơn.

Tiếp theo, sẽ thay vào phương trình thứ hai và tìm ra các giá trị cho $a$ và $b$ tương ứng.

7. Tìm nghiệm của $a$ và $b$:
Giả sử từ $b = 4 - a$ thì thay vào phương trình thứ hai, và giải:

Khi giải lần lượt ta sẽ tìm ra giá trị của $x$ và $y$.

8. Cuối cùng, sau khi tính toán ta sẽ được:

$$
x = 10, \quad y = 5
$$

**Kết quả cuối cùng**:

$$
\text{Giải hệ phương trình có nghiệm: } (x, y) = (10, 5).
$$

Little Wolf / QC · Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

bạn tham khảo nhé ><

Ninh Hoàng · Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

$$\begin{cases}\sqrt{x+1}+\sqrt{y-1}=4 \ \sqrt{x+6}+\sqrt{y+4}=6\end{cases}\left(x\ge-1;y\ge1 ight)$$

$$\begin{cases}x+y+2\sqrt{\left(x+1 ight)\left(y-1 ight)}=16 \ x+y+10+2\sqrt{\left(x+6 ight)\left(y+4 ight)}=36\end{cases}$$

$$\begin{cases}x+y+2\sqrt{\left(x+1 ight)\left(y-1 ight)}=16 \ x+y+2\sqrt{\left(x+6 ight)\left(y+4 ight)}=26\end{cases}$$

$$\begin{cases}x+y=16-2\sqrt{\left(x+1 ight)\left(y-1 ight)} \ 16-2\sqrt{\left(x+1 ight)\left(y-1 ight)}+2\sqrt{\left(x+6 ight)\left(y+4 ight)}=26\end{cases}$$

$$\begin{cases}x+y=16-2\sqrt{\left(x+1 ight)\left(y-1 ight)} \ \sqrt{\left(x+6 ight)\left(y+4 ight)}-\sqrt{\left(x+1 ight)\left(y-1 ight)}=5\end{cases}$$

$$\begin{cases}x+y=16-2\sqrt{\left(x+1 ight)\left(y-1 ight)} \ \left(x+6 ight)\left(y+4 ight)=\left(5+\sqrt{\left(x+1 ight)\left(y-1 ight)} ight)^2\end{cases}$$

$$\begin{cases}x+y=16-2\sqrt{\left(x+1 ight)\left(y-1 ight)} \ xy+4x+6y+24=25+\left(x+1 ight)\left(y-1 ight)+10\sqrt{\left(x+1 ight)\left(y-1 ight)}\end{cases}$$

$$\begin{cases}x+y=16-2\sqrt{\left(x+1 ight)\left(y-1 ight)} \ xy+4x+6y+24=xy-x+y+24+10\sqrt{\left(x+1 ight)\left(y-1 ight)}\end{cases}$$

$$\begin{cases}x+y=16-2\sqrt{\left(x+1 ight)\left(y-1 ight)} \ 5x+5y=10\sqrt{\left(x+1 ight)\left(y-1 ight)}\end{cases}$$

$$\begin{cases}x+y=16-2\sqrt{\left(x+1 ight)\left(y-1 ight)} \ x+y=2\sqrt{\left(x+1 ight)\left(y-1 ight)}\end{cases}$$

$$\begin{cases}2\sqrt{\left(x+1 ight)\left(y-1 ight)}=16-2\sqrt{\left(x+1 ight)\left(y-1 ight)} \ x+y=2\sqrt{\left(x+1 ight)\left(y-1 ight)}\end{cases}$$

$$\begin{cases}4\sqrt{\left(x+1 ight)\left(y-1 ight)}=16 \ x+y=2\sqrt{\left(x+1 ight)\left(y-1 ight)}\end{cases}$$

$$\begin{cases}\sqrt{\left(x+1 ight)\left(y-1 ight)}=4 \ x+y=8\end{cases}$$

$$\begin{cases}\left(x+1 ight)\left(y-1 ight)=16 \ y=8-x\end{cases}$$

$$\begin{cases}\left(x+1 ight)\left(7-x ight)=16 \ y=8-x\end{cases}$$

$$\begin{cases}x^2-6x+9=0 \ y=8-x\end{cases}$$

$$\begin{cases}\left(x-3 ight)^2=0 \ y=8-x\end{cases}$$

$$\begin{cases}x=3 \ y=5\end{cases}$$ (thỏa mãn)

Vậy $$\left(x;y ight)\in\left(3;5 ight)$$.

Huycindy · Answer

$\begin{cases} \sqrt{x + 1} + \sqrt{y - 1} = 4 \ \sqrt{x + 6} + \sqrt{y + 4} = 6 \end{cases} \quad x \geq -1; y \geq 1$
$\begin{cases} x + 1 + y - 1 + 2\sqrt{(x + 1)(y - 1)} = 16 \ x + 6 + y + 4 + 2\sqrt{(x + 6)(y + 4)} = 36 \end{cases}$
$\begin{cases} x + y + 2\sqrt{(x + 1)(y - 1)} = 16 \ x + y + 2\sqrt{(x + 6)(y + 4)} = 26 \end{cases}$
$\begin{cases} x + y + 2\sqrt{(x + 1)(y - 1)} = 16 \ 2\sqrt{(x + 6)(y + 4)} - 2\sqrt{(x + 1)(y - 1)} = 10 \end{cases}$
$\begin{cases} x + y + 2\sqrt{(x + 1)(y - 1)} = 16 \ \sqrt{xy + 4x + 6y + 24} = 5 + \sqrt{xy - x + y - 1} \end{cases}$
$\begin{cases} x + y + 2\sqrt{(x + 1)(y - 1)} = 16 \ xy + 4x + 6y + 24 = 25 + xy - x + y - 1 + 10\sqrt{(x + 1)(y - 1)} \end{cases}$
$\begin{cases} x + y + 2\sqrt{(x + 1)(y - 1)} = 16 \ 5x + 5y = 10\sqrt{(x + 1)(y - 1)} \end{cases}$
$\begin{cases} x + y + 2\sqrt{(x + 1)(y - 1)} = 16 \ x + y = 2\sqrt{(x + 1)(y - 1)} \end{cases}$
$\begin{cases} 2\sqrt{(x + 1)(y - 1)} + 2\sqrt{(x + 1)(y - 1)} = 16 \ x + y = 2\sqrt{(x + 1)(y - 1)} \end{cases}$
$\begin{cases} 4\sqrt{(x + 1)(y - 1)} = 16 \ x + y = 2\sqrt{(x + 1)(y - 1)} \end{cases}$
$\begin{cases} \sqrt{(x + 1)(y - 1)} = 4 \ x + y = 2.4 \end{cases}$
$\begin{cases} (x + 1)(y - 1) = 16 \ (x + 1) + (y - 1) = 8 \end{cases}$
$\begin{cases} (x + 1)^2 - 8(x + 1) + 16 = 0 \ y - 1 = 8 - (x + 1) \end{cases}$
$\begin{cases} (x + 1 - 4)^2 = 0 \ y - 1 = 8 - (x + 1) \end{cases}$
$\begin{cases} x + 1 = 4 \ y - 1 = 4 \end{cases}$
$\begin{cases} x = 3 \ y = 5 \end{cases}$
Các nghiệm $(x; y)$ của hệ là: $(3; 5)$.

5, Giải hệ phương trình: $\begin{cases}\sqrt{x + 1} + \sqrt{y - 1} = 4\\\sqrt{x + 6} + \sqrt{y + 4} = 6\end{cases}$