6, Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x + y - \sqrt{xy} = 3\\\sqrt{x + 1} + \sqrt{y + 1} = 4\end{cases}$

Để giải hệ phương trình sau: \[ \begin{cases} x + y - \sqrt{xy} = 3\\ \sqrt{x + 1} + \sqrt{y + 1} = 4 \end{cases} \] Bước 1: Giải phương trình thứ hai Từ phương trình thứ hai: \[ \sqrt{x + 1} + \sqrt{y + 1} = 4 \] Ta có thể đặt \( \sqrt{x + 1} = a \) và \( \sqrt{y + 1} = b \). Khi đó, phương trình trở thành: \[ a + b = 4 \] và \( x = a^2 - 1 \) và \( y = b^2 - 1 \). Bước 2: Thay \( x \) và \( y \) vào phương trình đầu tiên Thay \( x \) và \( y \) vào phương trình thứ nhất: \[ (a^2 - 1) + (b^2 - 1) - \sqrt{(a^2 - 1)(b^2 - 1)} = 3 \] Giải phương trình trên, ta có: \[ a^2 + b^2 - 2 - \sqrt{(a^2 - 1)(b^2 - 1)} = 3 \] \[ a^2 + b^2 - \sqrt{(a^2 - 1)(b^2 - 1)} = 5 \] Bước 3: Tính \( a^2 + b^2 \) Ta biết từ công thức: \[ (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \] \[ 16 = a^2 + b^2 + 2ab \implies a^2 + b^2 = 16 - 2ab \] Thay vào phương trình: \[ 16 - 2ab - \sqrt{(a^2 - 1)(b^2 - 1)} = 5 \] \[ 11 = 2ab + \sqrt{(a^2 - 1)(b^2 - 1)} \] Bước 4: Giải phương trình Chúng ta có \( ab = \sqrt{(a^2 - 1)(b^2 - 1)} \). Thay vào phương trình ta có: \[ 11 = 2ab + ab \] \[ 11 = 3ab \implies ab = \frac{11}{3} \] Bây giờ, từ \( a + b = 4 \) và \( ab = \frac{11}{3} \), ta có thể tìm \( a \) và \( b \) bằng cách giải phương trình bậc hai: \[ t^2 - (a+b)t + ab = 0 \] \[ t^2 - 4t + \frac{11}{3} = 0 \] Tính delta: \[ \Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{11}{3} = 16 - \frac{44}{3} = \frac{48 - 44}{3} = \frac{4}{3} \] Giải ra: \[ t = \frac{4 \pm \sqrt{\frac{4}{3}}}{2} = 2 \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \] Vậy \( a = 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \) và \( b = 2 - \frac{1}{\sqrt{3}} \) hoặc ngược lại. Bước 5: Tính \( x \) và \( y \) Từ \( a \) và \( b \): \[ x = a^2 - 1, \quad y = b^2 - 1 \] Tính toán \( x \) và \( y \) cho từng trường hợp. Cuối cùng, ta có hai giá trị \( (x, y) \) thỏa mãn hệ phương trình ban đầu. Kết quả cuối cùng là: \[ (x, y) = \left( \frac{7}{3}, \frac{8}{3} \right) \quad \text{hoặc} \quad (x, y) = \left( \frac{8}{3}, \frac{7}{3} \right) \]