8, Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x^2 + y^2 - xy = 1\x^3 + y^3 = x + 3y\end{cases}$

Question

Little Wolf / QC · Accepted Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

bạn tham khảo nha ><

Timi · Answer

Để giải hệ phương trình

$$
\begin{cases}
x^2 + y^2 - xy = 1\
x^3 + y^3 = x + 3y
\end{cases}
$$

ta bắt đầu từ phương trình đầu tiên:

$$
x^2 + y^2 - xy = 1.
$$

Ta có thể viết lại phương trình này thành:

$$
x^2 + y^2 = xy + 1.
$$

Tiếp theo, ta sử dụng phương trình thứ hai:

$$
x^3 + y^3 = x + 3y.
$$

Chúng ta có thể sử dụng công thức tổng của lập phương:

$$
x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2).
$$

Thay vào đó, ta có:

$$
(x + y)(x^2 - xy + y^2) = x + 3y.
$$

Ta thay $x^2 + y^2$ từ phương trình đầu tiên vào đây:

$$
x^2 - xy + y^2 = (xy + 1) - xy = 1.
$$

Vậy ta có:

$$
(x + y) \cdot 1 = x + 3y.
$$

Suy ra:

$$
x + y = x + 3y.
$$

Rút gọn ta được:

$$
y = 0.
$$

Thay $y = 0$ vào phương trình đầu tiên:

$$
x^2 + 0^2 - x \cdot 0 = 1 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1 \text{ hoặc } x = -1.
$$

Ta có hai nghiệm từ trường hợp $y = 0$:

1. $ (1, 0) $
2. $ (-1, 0) $

Tiếp theo, ta kiểm tra xem liệu có thể có giá trị $y$ khác ngoài 0 hay không. Giả sử $y \neq 0$, ta có thể viết lại từ $y = kx$ với $k \neq 0$, và thay vào cả hai phương trình. Tuy nhiên, việc này có thể phức tạp và không mang lại thêm nghiệm mới.

Cuối cùng, ta kết luận rằng hệ phương trình có nghiệm:

$$
\boxed{(1, 0) \text{ và } (-1, 0)}.
$$

Ninh Hoàng · Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

$$\begin{cases}x^2+y^2-xy=1 \ x^3+y^3=x+3y\end{cases}$$

$$\begin{cases}x^2-xy+y^2=1 \ x^3+y^3=\left(x+3y ight)\left(x^2-xy+y^2 ight)\end{cases}$$

$$\begin{cases}x^2-xy+y^2=1 \ x^3+y^3=x^3+2x^2y-2xy^2+3y^3\end{cases}$$

$$\begin{cases}x^2-xy+y^2=1 \ 2y\left(x^2-xy+y^2 ight)=0\end{cases}$$

$$\begin{cases}x^2-xy+y^2=1 \ 2y=0\end{cases}$$

$$\begin{cases}x^2=1 \ y=0\end{cases}$$

$$\left[\begin{matrix}\begin{cases}x=1 \ y=0\end{cases} \ \begin{cases}x=-1 \ y=0\end{cases}\end{matrix} ight.$$

Vậy $$\left(x;y ight)\in\left\lbrace\left(1;0 ight),\left(-1;0 ight) ight brace$$.

Huycindy · Answer

$\begin{cases} x^2 + y^2 - xy = 1 \ x^3 + y^3 = x + 3y \end{cases}$
$\begin{cases} x^2 + y^2 - xy = 1 \ (x + y)(x^2 - xy + y^2) = x + 3y \end{cases}$
$\begin{cases} x^2 + y^2 - xy = 1 \ (x + y) . 1 = x + 3y \end{cases}$
$\begin{cases} x^2 + y^2 - xy = 1 \ x + y = x + 3y \end{cases}$
$\begin{cases} x^2 + y^2 - xy = 1 \ 2y = 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x^2 + 0^2 - x . 0 = 1 \ y = 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x^2 = 1 \ y = 0 \end{cases}$
$\begin{cases} \left[\begin{matrix} x = 1 \ x = -1 \end{matrix}ight. \ y = 0 \end{cases}$
$\left[\begin{matrix} \begin{cases} x = 1 \ y = 0 \end{cases} \ \begin{cases} x = -1 \ y = 0 \end{cases} \end{matrix}ight.$
Vậy các nghiệm $(x; y)$ của hệ là: $(1; 0), (-1; 0)$.

Nguyễn tuấn anh · Answer

Giải hệ phương trình:

$\begin{cases} x^2 + y^2 - xy = 1 \quad (1) \ x^3 + y^3 = x + 3y \quad (2) \end{cases}$

Thay $(1)$ vào phương trình $(2)$ bằng cách nhân vế với vế:

$x^3 + y^3 = (x + 3y)(x^2 + y^2 - xy)$

$x^3 + y^3 = x^3 + xy^2 - x^2y + 3x^2y + 3y^3 - 3xy^2$

$x^3 + y^3 = x^3 + 3y^3 + 2x^2y - 2xy^2$

$2y^3 + 2x^2y - 2xy^2 = 0$

$2y(y^2 + x^2 - xy) = 0$

Trường hợp 1:

$y = 0$

Thay vào phương trình $(1)$:

$x^2 + 0^2 - x \cdot 0 = 1$

$x^2 = 1$

$x = 1$ hoặc $x = -1$

Trường hợp 2:

$y^2 + x^2 - xy = 0$

Từ phương trình $(1)$ ta có $x^2 + y^2 - xy = 1$, điều này mâu thuẫn với $y^2 + x^2 - xy = 0$ ($0 = 1$, vô lý). Do đó trường hợp này không có nghiệm.

Vậy hệ phương trình có các cặp nghiệm $(x; y)$ là:

$(1; 0), (-1; 0)$

8, Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x^2 + y^2 - xy = 1\\x^3 + y^3 = x + 3y\end{cases}$