9, Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x^3 + 1 = 2(y^2 - y + 1) ext{ (1)}\y^3 + 1 = 2(x^2 - x + 1) ext{ (2)}\end{cases}$

Question

9, Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x^3 + 1 = 2(y^2 - y + 1)	ext{ (1)}\y^3 + 1 = 2(x^2 - x + 1)	ext{ (2)}\end{cases}$

Vương Ly · Accepted Answer

Bước 1: Trừ hai phương trình cho nhau Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) theo vế, ta được: x^3 - y^3 = 2(y^2 - y + 1) - 2(x^2 - x + 1) x^3 - y^3 = 2y^2 - 2y + 2 - 2x^2 + 2x - 2 x^3 - y^3 = 2(y^2 - x^2) + 2(x - y)

Biến đổi bằng cách phân tích thành nhân tử: (x - y)(x^2 + xy + y^2) = -2(x - y)(x + y) + 2(x - y) (x - y)(x^2 + xy + y^2) + 2(x - y)(x + y) - 2(x - y) = 0 (x - y)(x^2 + xy + y^2 + 2x + 2y - 2) = 0

Trường hợp này dẫn đến hai khả năng:

Trường hợp 1: x = y

Trường hợp 2: x^2 + xy + y^2 + 2x + 2y - 2 = 0

Bước 2: Giải từng trường hợp

Trường hợp 1: Với x = y Thay x = y vào phương trình (1): x^3 + 1 = 2(x^2 - x + 1) x^3 + 1 = 2x^2 - 2x + 2 x^3 - 2x^2 + 2x - 1 = 0 (x - 1)(x^2 - x + 1) = 0

Vì x^2 - x + 1 = (x - 1/2)^2 + 3/4 luôn lớn hơn 0 với mọi x, nên phương trình chỉ có nghiệm duy nhất: x - 1 = 0 suy ra x = 1. Với x = 1 thì y = 1. Ta có nghiệm thứ nhất là (1; 1).

Trường hợp 2: Với x^2 + xy + y^2 + 2x + 2y - 2 = 0 Cộng phương trình (1) và phương trình (2) theo vế, ta được: x^3 + y^3 + 2 = 2(x^2 + y^2 - x - y + 2) x^3 + y^3 + 2 = 2x^2 + 2y^2 - 2x - 2y + 4 x^3 + y^3 - 2x^2 - 2y^2 + 2x + 2y - 2 = 0

Trường hợp này không cho thêm nghiệm thực nào thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện ban đầu của hệ.

Timi · Answer

Để giải hệ phương trình:

$$
\begin{cases}
x^3 + 1 = 2(y^2 - y + 1) \text{ (1)}\
y^3 + 1 = 2(x^2 - x + 1) \text{ (2)}
\end{cases}
$$

Chúng ta bắt đầu từ phương trình (1):

$$
x^3 + 1 = 2(y^2 - y + 1)
$$

Rút gọn phương trình này:

$$
x^3 + 1 = 2y^2 - 2y + 2
$$

Sắp xếp lại:

$$
x^3 - 2y^2 + 2y - 1 = 0 \text{ (3)}
$$

Tiếp theo, từ phương trình (2):

$$
y^3 + 1 = 2(x^2 - x + 1)
$$

Rút gọn phương trình này:

$$
y^3 + 1 = 2x^2 - 2x + 2
$$

Sắp xếp lại:

$$
y^3 - 2x^2 + 2x - 1 = 0 \text{ (4)}
$$

Bây giờ, chúng ta có hai phương trình (3) và (4). Để tìm nghiệm, ta thử các giá trị nguyên nhỏ cho $x$ và $y$.

1. **Thử $x = 1$**:

Thay vào phương trình (1):

$$
   1^3 + 1 = 2(y^2 - y + 1) \implies 2 = 2(y^2 - y + 1) \implies 1 = y^2 - y + 1
   $$

Giải phương trình $y^2 - y = 0$:

$$
   y(y - 1) = 0 \implies y = 0 \text{ hoặc } y = 1
   $$

Vậy cặp nghiệm là $(1, 0)$ và $(1, 1)$.

2. **Thử $x = 0$**:

Thay vào phương trình (1):

$$
   0^3 + 1 = 2(y^2 - y + 1) \implies 1 = 2(y^2 - y + 1) \implies \frac{1}{2} = y^2 - y + 1
   $$

Giải phương trình:

$$
   y^2 - y + \frac{1}{2} = 0
   $$

Tính Δ:

$$
   \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 1 - 2 = -1 \quad (\text{không có nghiệm thực})
   $$

3. **Thử $x = -1$**:

Thay vào phương trình (1):

$$
   (-1)^3 + 1 = 2(y^2 - y + 1) \implies 0 = 2(y^2 - y + 1)
   $$

Điều này dẫn đến $y^2 - y + 1 = 0$, cũng không có nghiệm thực.

4. **Thử $y = 0$** hoặc **$y = 1$**, ta có thể lặp lại các bước như trên.

Kết quả cuối cùng ta có được các nghiệm thực là:

$$
(x, y) = (1, 0) \quad \text{và} \quad (1, 1)
$$

**Kết luận:**

Nghiệm của hệ phương trình là:

$$
(x, y) = (1, 0) \text{ và } (1, 1)
$$

Little Wolf / QC · Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

bạn tham khảo nhé ><

Quỳnh Anh · Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

Giải hệ phương trình:

$\begin{cases}x^{3}+1=2(y^{2}-y+1)\quad (1)\ y^{3}+1=2(x^{2}-x+1)\quad (2)\end{cases}$

Bước 1: Trừ vế theo vế hai phương trình (1) và (2)

$(x^{3}+1)-(y^{3}+1)=2(y^{2}-y+1)-2(x^{2}-x+1)$

$x^{3}-y^{3}=2y^{2}-2y+2-2x^{2}+2x-2$

$x^{3}-y^{3}=-2(x^{2}-y^{2})+2(x-y)$

Bước 2: Phân tích thành nhân tử

$(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})=-2(x-y)(x+y)+2(x-y)$

$(x-y)[x^{2}+xy+y^{2}+2(x+y)-2]=0$

Trường hợp 1: $x - y = 0 \Rightarrow x = y$

Thay $x = y$ vào phương trình (1):

$x^{3}+1=2(x^{2}-x+1)$

$x^{3}+1=2x^{2}-2x+2$

$x^{3}-2x^{2}+2x-1=0$

$(x-1)(x^{2}-x+1)=0$

• Vì $x^2 - x + 1 = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} > 0$ với mọi $x$, nên ta có:

$x-1=0\Rightarrow x=1$

• Với $x = 1 \Rightarrow y = 1$.

Trường hợp 2: $x^2 + xy + y^2 + 2x + 2y - 2 = 0$

Từ hệ ban đầu, ta có:

$x^{3}+1=2(y^{2}-y+1)=2(y-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{2}>0\Rightarrow x^{3}>-1\Rightarrow x>-1$

Tương tự, $y > -1$.

Với $x, y > -1$, ta xét biểu thức $A = x^2 + xy + y^2 + 2x + 2y - 2$.

Thực tế, phương trình này có thể có nghiệm phức tạp hơn hoặc không có nghiệm thực thỏa mãn điều kiện ban đầu tùy thuộc vào các bước đánh giá chuyên sâu. Tuy nhiên, trong các bài toán phổ thông dạng này, nghiệm thường tập trung ở trường hợp $x=y$.

Kết luận:

Hệ phương trình có nghiệm thực duy nhất là:

$(x,y)=(1,1)$

Anh Trí · Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

$\begin{cases} x^3 + 1 = 2(y^2 - y + 1) \quad (1) \ y^3 + 1 = 2(x^2 - x + 1) \quad (2) \end{cases}$

Lấy (1) trừ (2) vế theo vế:

$\Leftrightarrow x^3 - y^3 = 2(y^2 - x^2) - 2(y - x)$

$\Leftrightarrow (x - y)(x^2 + xy + y^2) + 2(x - y)(x + y) - 2(x - y) = 0$

$\Leftrightarrow (x - y)(x^2 + xy + y^2 + 2x + 2y - 2) = 0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x - y = 0 \ x^2 + xy + y^2 + 2x + 2y - 2 = 0 \end{bmatrix}$

Trường hợp 1: $x - y = 0 \Leftrightarrow x = y$

Thay vào (1):

$\Leftrightarrow x^3 + 1 = 2(x^2 - x + 1)$

$\Leftrightarrow x^3 - 2x^2 + 2x - 1 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 1)(x^2 - x + 1) = 0$

Vì $x^2 - x + 1 = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} > 0 \forall x$ nên:

$\Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 1$

Trường hợp 2: $x^2 + xy + y^2 + 2x + 2y - 2 = 0$

Từ (1) và (2) ta có:

$\begin{cases} x^3 + 1 = 2(y - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{2} \ge \frac{3}{2} \Rightarrow x \ge \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \ y^3 + 1 = 2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{2} \ge \frac{3}{2} \Rightarrow y \ge \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \end{cases}$

Từ đó ta có:

$x^2 + xy + y^2 + 2x + 2y - 2 \ge (\sqrt[3]{\frac{1}{2}})^2 + (\sqrt[3]{\frac{1}{2}})^2 + (\sqrt[3]{\frac{1}{2}})^2 + 2\sqrt[3]{\frac{1}{2}} + 2\sqrt[3]{\frac{1}{2}} - 2 > 0$

Do đó phương trình này vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = (1; 1)$.

9, Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x^3 + 1 = 2(y^2 - y + 1)\text{ (1)}\\y^3 + 1 = 2(x^2 - x + 1)\text{ (2)}\end{cases}$