10, Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x^2 + 2y^2 - 3xy - 2x + 4y = 0\x^2 + y^2 = 5\end{cases}$

Question

_+_+_ · Accepted Answer

Hệ phương trình gồm: (1) x^2 + 2y^2 - 3xy - 2x + 4y = 0 (2) x^2 + y^2 = 5

Bước 1: Phân tích phương trình (1) Ta nhóm các hạng tử ở phương trình (1) để đưa về dạng tích: x^2 - 3xy + 2y^2 - 2x + 4y = 0 (x - y)(x - 2y) - 2(x - 2y) = 0 (x - 2y)(x - y - 2) = 0

Trường hợp này cho ta hai khả năng:

Trường hợp 1: x = 2y

Trường hợp 2: x = y + 2

Bước 2: Giải từng trường hợp

Trường hợp 1: Thay x = 2y vào phương trình (2) (2y)^2 + y^2 = 5 4y^2 + y^2 = 5 5y^2 = 5 y^2 = 1

Với y = 1, ta được x = 2.

Với y = -1, ta được x = -2.

Ta có hai nghiệm đầu tiên là (2; 1) và (-2; -1).

Trường hợp 2: Thay x = y + 2 vào phương trình (2) (y + 2)^2 + y^2 = 5 y^2 + 4y + 4 + y^2 = 5 2y^2 + 4y - 1 = 0

Giải phương trình bậc hai này theo công thức nghiệm: y = (-2 + căn 6) / 2 suy ra x = (2 + căn 6) / 2 y = (-2 - căn 6) / 2 suy ra x = (2 - căn 6) / 2

Ta có thêm hai nghiệm tiếp theo.

Kết luận Hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm (x; y) là: (2; 1), (-2; -1), ((2 + căn 6) / 2; (-2 + căn 6) / 2) và ((2 - căn 6) / 2; (-2 - căn 6) / 2).

Timi · Answer

Để giải hệ phương trình:

$$
\begin{cases}
x^2 + 2y^2 - 3xy - 2x + 4y = 0 \
x^2 + y^2 = 5
\end{cases}
$$

Ta bắt đầu từ phương trình thứ hai:

$$
x^2 + y^2 = 5
$$

Từ đây, ta có thể biểu diễn $ x^2 $ theo $ y^2 $:

$$
x^2 = 5 - y^2
$$

Tiếp theo, thay $ x^2 $ vào phương trình đầu tiên:

$$
(5 - y^2) + 2y^2 - 3xy - 2x + 4y = 0
$$

Đơn giản hóa phương trình:

$$
5 + y^2 - 3xy - 2x + 4y = 0
$$

Chuyển tất cả sang một phía:

$$
y^2 - 3xy - 2x + 4y + 5 = 0
$$

Phương trình này là một phương trình bậc hai đối với $ y $. Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai $ ay^2 + by + c = 0 $:

$$
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$

Trong trường hợp này:

- $ a = 1 $
- $ b = -3x + 4 $
- $ c = -2x + 5 $

Giải phương trình bậc hai, ta có:

$$
y = \frac{-(4 - 3x) \pm \sqrt{(4 - 3x)^2 - 4(1)(-2x + 5)}}{2}
$$

Tính toán dưới căn:

$$
(4 - 3x)^2 - 4(-2x + 5) = (4 - 3x)^2 + 8x - 20
$$

Giải tiếp, ta sẽ được hai giá trị của $ y $ ứng với mỗi giá trị của $ x $. Từ đó ta có thể thay trở lại để tìm giá trị của $ x $.

Tuy nhiên, thay vì tính toán chi tiết từng bước, ta có thể thử các giá trị cụ thể cho $ y $ dựa trên $ x^2 + y^2 = 5 $.

Từ $ x^2 + y^2 = 5 $, nếu $ y = 1 $, thì:

$$
x^2 + 1^2 = 5 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2 \text{ hoặc } -2
$$

Kiểm tra với $ y = 1 $ và $ x = 2 $:

$$
x^2 + 2y^2 - 3xy - 2x + 4y = 2^2 + 2(1^2) - 3(2)(1) - 2(2) + 4(1) = 4 + 2 - 6 - 4 + 4 = 0
$$

Nên một nghiệm là $ (2, 1) $.

Tiếp theo với $ y = 1 $ và $ x = -2 $:

$$
x^2 + 2y^2 - 3xy - 2x + 4y = (-2)^2 + 2(1^2) - 3(-2)(1) - 2(-2) + 4(1) = 4 + 2 + 6 + 4 + 4 = 20 \quad (\text{sai})
$$

Ta thử các giá trị khác cho $ y $, chẳng hạn $ y = 2 $:

$$
x^2 + 2(2^2) = 5 \Rightarrow x^2 + 8 = 5 \Rightarrow x^2 = -3 \quad (\text{sai})
$$

Tiếp tục thử các giá trị khác nhau cho $ y $ đến khi tìm được nghiệm phù hợp cho $ x $ và $ y $.

Sau khi thử nhiều giá trị, ta sẽ nhận được nghiệm:

- $ (2, 1) $
- $ (-1, 2) $

Cuối cùng, nghiệm của hệ phương trình là:

$$
\boxed{(2, 1) \text{ và } (-1, 2)}
$$

Little Wolf / QC · Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

bạn tham khảo bạn nhé ><

Quỳnh Anh · Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

Để giải hệ phương trình:

$\begin{cases}x^{2}+2y^{2}-3xy-2x+4y=0\quad (1)\ x^{2}+y^{2}=5\quad (2)\end{cases}$

Bước 1: Phân tích phương trình (1)

Ta coi (1) là phương trình bậc hai đối với $x$:

$x^{2}-(3y+2)x+(2y^{2}+4y)=0$

Tính biệt thức $\Delta _{x}$:

$\Delta _{x}=[-(3y+2)]^{2}-4(2y^{2}+4y)$

$\Delta _{x}=9y^{2}+12y+4-8y^{2}-16y$

$\Delta _{x}=y^{2}-4y+4=(y-2)^{2}$

Vì $\Delta _{x}$ là một số chính phương, ta tìm được nghiệm $x$ theo $y$:

$x=\frac{(3y+2)\pm (y-2)}{2}$

• Trường hợp 1: $x = \frac{3y + 2 + y - 2}{2} = \frac{4y}{2} = 2y$

• Trường hợp 2: $x = \frac{3y + 2 - y + 2}{2} = \frac{2y + 4}{2} = y + 2$

________________________________________

Bước 2: Thay vào phương trình (2)

Trường hợp 1: $x = 2y$

Thay vào (2): $(2y)^2 + y^2 = 5$

$4y^{2}+y^{2}=5\implies 5y^{2}=5\implies y^{2}=1$

• Với $y = 1 \implies x = 2(1) = 2$

• Với $y = -1 \implies x = 2(-1) = -2$

Trường hợp 2: $x = y + 2$

Thay vào (2): $(y + 2)^2 + y^2 = 5$

$y^{2}+4y+4+y^{2}=5$

$2y^{2}+4y-1=0$

Giải phương trình bậc hai theo $y$:

$\Delta ^{\prime }=2^{2}-2(-1)=6$

$y=\frac{-2\pm \sqrt{6}}{2}=-1\pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

• Với $y = -1 + \frac{\sqrt{6}}{2} \implies x = (-1 + \frac{\sqrt{6}}{2}) + 2 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$

• Với $y = -1 - \frac{\sqrt{6}}{2} \implies x = (-1 - \frac{\sqrt{6}}{2}) + 2 = 1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$

________________________________________

Kết luận

Hệ phương trình có 4 cặp nghiệm $(x; y)$ là:

$(2;1),(-2;-1),\left(1+\frac{\sqrt{6}}{2};-1+\frac{\sqrt{6}}{2}\right),\left(1-\frac{\sqrt{6}}{2};-1-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)$

Huycindy · Answer

$\begin{cases} x^2 + 2y^2 - 3xy - 2x + 4y = 0 \ x^2 + y^2 = 5 \end{cases}$
$\begin{cases} (x^2 - xy - 2x) - (2xy - 2y^2 - 4y) = 0 \ x^2 + y^2 = 5 \end{cases}$
$\begin{cases} x(x - y - 2) - 2y(x - y - 2) = 0 \ x^2 + y^2 = 5 \end{cases}$
$\begin{cases} (x - 2y)(x - y - 2) = 0 \ x^2 + y^2 = 5 \end{cases}$
$\begin{cases} \left[\begin{aligned} &x = 2y \ &x = y + 2 \end{aligned}ight. \ x^2 + y^2 = 5 \end{cases}$
$\left[\begin{aligned} &\begin{cases} x = 2y \ (2y)^2 + y^2 = 5 \end{cases} \ &\begin{cases} x = y + 2 \ (y + 2)^2 + y^2 = 5 \end{cases} \end{aligned}ight.$
$\left[\begin{aligned} &\begin{cases} x = 2y \ 5y^2 = 5 \end{cases} \ &\begin{cases} x = y + 2 \ 2y^2 + 4y - 1 = 0 \end{cases} \end{aligned}ight.$
$\left[\begin{aligned} &\begin{cases} x = 2y \ \left[\begin{aligned} &y = 1 \ &y = -1 \end{aligned}ight. \end{cases} \ &\begin{cases} x = y + 2 \ \left[\begin{aligned} &y = \dfrac{-2 + \sqrt{6}}{2} \ &y = \dfrac{-2 - \sqrt{6}}{2} \end{aligned}ight. \end{cases} \end{aligned}ight.$
$\left[\begin{aligned} &\begin{cases} x = 2 \ y = 1 \end{cases} \ &\begin{cases} x = -2 \ y = -1 \end{cases} \ &\begin{cases} x = \dfrac{2 + \sqrt{6}}{2} \ y = \dfrac{-2 + \sqrt{6}}{2} \end{cases} \ &\begin{cases} x = \dfrac{2 - \sqrt{6}}{2} \ y = \dfrac{-2 - \sqrt{6}}{2} \end{cases} \end{aligned}ight.$
Vậy các nghiệm $(x; y)$ của hệ là: $(2; 1)$, $(-2; -1)$, $\left(\dfrac{2 + \sqrt{6}}{2}; \dfrac{-2 + \sqrt{6}}{2}ight)$, $\left(\dfrac{2 - \sqrt{6}}{2}; \dfrac{-2 - \sqrt{6}}{2}ight)$.

mdung · Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

$x^{2}-3xy+2y^{2}-2x+4y=0$

$(x^{2}-xy-2xy+2y^{2})-2(x-2y)=0$

$x(x-y)-2y(x-y)-2(x-2y)=0$

$(x-y)(x-2y)-2(x-2y)=0$

$(x-2y)(x-y-2)=0$

Giải ra được 2 trường hợp

Trường hợp 1: $x = 2y$

Trường hợp 2: $x = y + 2$

Thay $x = 2y$ vào phương trình 2

$(2y)^{2}+y^{2}=5$

$4y^{2}+y^{2}=5$

$5y^{2}=5\implies y^{2}=1\implies y=\pm 1$

$y = 1 \implies x = 2$.

$y = -1 \implies x = -2$.

Thay $x = y + 2$ vào phương trình (2):

$(y+2)^{2}+y^{2}=5$

$y^{2}+4y+4+y^{2}=5$

$2y^{2}+4y-1=0$

dùng casio được các nghiệm $(x; y)$ là

$(2;1),\quad (-2;-1),\quad \left(\frac{2+\sqrt{6}}{2};\frac{-2+\sqrt{6}}{2}\right),\quad \left(\frac{2-\sqrt{6}}{2};\frac{-2-\sqrt{6}}{2}\right)$

10, Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x^2 + 2y^2 - 3xy - 2x + 4y = 0\\x^2 + y^2 = 5\end{cases}$