Một nhà máy sản xuất và bán $x$ sản phẩm trong mỗi tháng. Chi phí sản xuất $x$ sản phẩm được cho bởi công thức $C = 10000 + 600x - 0,6x^2 + 0,004x^3$. Biết giá bán của mỗi sản phẩm là $p = 1800 - 6x$....

Để tìm số lượng sản phẩm \(x\) mà nhà máy nên sản xuất để tối đa hóa lợi nhuận, chúng ta cần xác định lợi nhuận theo \(x\). Lợi nhuận \(L\) được tính bằng công thức: \[ L = Doanh thu - Chi phí \] Doanh thu được tính bằng: \[ Doanh thu = p \times x = (1800 - 6x)x = 1800x - 6x^2 \] Chi phí đã được cho là: \[ C = 10000 + 600x - 0,6x^2 + 0,004x^3 \] Vậy lợi nhuận sẽ là: \[ L = (1800x - 6x^2) - (10000 + 600x - 0,6x^2 + 0,004x^3) \] Rút gọn biểu thức lợi nhuận: \[ L = 1800x - 6x^2 - 10000 - 600x + 0,6x^2 - 0,004x^3 \] \[ L = (1800x - 600x) + (-6x^2 + 0,6x^2) - 0,004x^3 - 10000 \] \[ L = 1200x - 5,4x^2 - 0,004x^3 - 10000 \] Bây giờ, để tối đa hóa lợi nhuận, chúng ta cần tính đạo hàm bậc nhất của \(L\) theo \(x\) và đặt nó bằng 0: \[ \frac{dL}{dx} = 1200 - 10,8x - 0,012x^2 \] Đặt đạo hàm bằng 0: \[ 1200 - 10,8x - 0,012x^2 = 0 \] Chúng ta có phương trình bậc hai: \[ 0,012x^2 + 10,8x - 1200 = 0 \] Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó \(a = 0,012\), \(b = 10,8\), \(c = -1200\): \[ b^2 - 4ac = (10,8)^2 - 4 \times 0,012 \times (-1200) \] \[ = 116.64 + 57.6 = 174.24 \] Bây giờ tính nghiệm: \[ x = \frac{-10,8 \pm \sqrt{174.24}}{2 \times 0,012} \] Tính \(\sqrt{174.24} \approx 13.2\): \[ x = \frac{-10,8 \pm 13,2}{0,024} \] Có hai nghiệm: 1. \(x_1 = \frac{2.4}{0.024} = 100\) 2. \(x_2 = \frac{-24}{0.024} = -1000\) (không hợp lệ) Vì vậy, số lượng sản phẩm tối ưu là: \[ x = 100 \] Nhà máy nên sản xuất 100 sản phẩm mỗi tháng để lợi nhuận thu được là lớn nhất.