Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1; 1; -1)$ và đường thẳng $d: \dfrac{x-4}{2} = \dfrac{y-4}{2} = \dfrac{z-2}{-1}$. Gọi $H(a; b; c)$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên đường thẳng $d$. Tính tổng $a + b + c$.

Question

Huycindy · Accepted Answer

Phương trình tham số của đường thẳng $d$:
$\begin{cases} x = 4 + 2t \ y = 4 + 2t \ z = 2 - t \end{cases}$
Do $H \in d$ nên tọa độ điểm $H$ có dạng:
$H(4 + 2t; 4 + 2t; 2 - t)$
Vectơ $\overrightarrow{AH}$:
$\overrightarrow{AH} = (3 + 2t; 3 + 2t; 3 - t)$
Vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$: $\vec{u}_d = (2; 2; -1)$
Vì $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $d$ nên $\overrightarrow{AH} \perp \vec{u}_d$:
$\overrightarrow{AH} \cdot \vec{u}_d = 0$
$2(3 + 2t) + 2(3 + 2t) - 1(3 - t) = 0$
$6 + 4t + 6 + 4t - 3 + t = 0$
$9t + 9 = 0$
$t = -1$
Thay $t = -1$ vào tọa độ điểm $H$:
$\begin{cases} a = 4 + 2(-1) = 2 \ b = 4 + 2(-1) = 2 \ c = 2 - (-1) = 3 \end{cases}$
Tọa độ điểm $H$ là $H(2; 2; 3)$.
Vậy $a + b + c = 2 + 2 + 3 = 7$

Timi · Answer

Để tìm hình chiếu vuông góc của điểm $ A(1; 1; -1) $ lên đường thẳng $ d $, trước tiên ta cần biểu diễn đường thẳng $ d $ dưới dạng phương trình vector.

Đường thẳng $ d $ được cho bởi các tham số:
$$
d: \frac{x-4}{2} = \frac{y-4}{2} = \frac{z-2}{-1}
$$
Từ đó, ta có thể viết lại dưới dạng vector như sau:
$$
\vec{r} = (4; 4; 2) + t(2; 2; -1)
$$
Trong đó $ (4; 4; 2) $ là điểm đi qua đường thẳng $ d $ và $ (2; 2; -1) $ là vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Gọi $ H(a; b; c) $ là hình chiếu của điểm $ A $ lên đường thẳng $ d $. Ta có thể viết tọa độ của $ H $ theo tham số $ t $:
$$
H = (4 + 2t; 4 + 2t; 2 - t)
$$

Để $ H $ là hình chiếu vuông góc của $ A $ lên $ d $, vectơ $ \overrightarrow{AH} $ phải vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng $ d $. Tính vectơ $ \overrightarrow{AH} $:
$$
\overrightarrow{AH} = (4 + 2t - 1; 4 + 2t - 1; 2 - t + 1) = (3 + 2t; 3 + 2t; 3 - t)
$$

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $ d $ là $ (2; 2; -1) $. Để hai vectơ này vuông góc với nhau, ta tính tích vô hướng:
$$
(3 + 2t, 3 + 2t, 3 - t) \cdot (2, 2, -1) = 0
$$

Tính tích vô hướng:
$$
(3 + 2t) \cdot 2 + (3 + 2t) \cdot 2 + (3 - t)(-1) = 0
$$
$$
2(3 + 2t) + 2(3 + 2t) - (3 - t) = 0
$$
$$
4(3 + 2t) - 3 + t = 0
$$
$$
12 + 8t - 3 + t = 0
$$
$$
9 + 9t = 0
$$
$$
t = -1
$$

Thay $ t = -1 $ vào công thức tọa độ của $ H $:
$$
H = (4 + 2(-1); 4 + 2(-1); 2 - (-1)) = (4 - 2; 4 - 2; 2 + 1) = (2; 2; 3)
$$

Vậy tọa độ của điểm $ H $ là $ H(2; 2; 3) $.

Cuối cùng, tính tổng $ a + b + c $:
$$
a + b + c = 2 + 2 + 3 = 7
$$

Vậy tổng $ a + b + c $ là $ \boxed{7} $.

Little Wolf / QC · Answer

{"userId":5058292,"userName":"Progamingsang"}

bạn tham khảo nhé ><

Ko có tên ~~~ · Answer

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1; 1; -1)$ và đường thẳng $d: \dfrac{x-4}{2} = \dfrac{y-4}{2} = \dfrac{z-2}{-1}$. Gọi $H(a; b; c)$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên đường thẳng $d$. Tính t...