« CÂU HỎI Toán học · Lớp $8$ $...$

Để giải phương trình \( \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}}}+\sqrt{x-\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}}}=5 \), ta sẽ tiến hành như sau: Đặt \( y = \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}}} \) và \( z = \sqrt{x-\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}}} \). Ta có phương trình: \[ y + z = 5 \] Tiếp theo, ta tính \( y^2 \) và \( z^2 \): \[ y^2 = x + \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}} \] \[ z^2 = x - \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}} \] Cộng \( y^2 \) và \( z^2 \): \[ y^2 + z^2 = (x + \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}}) + (x - \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}}) = 2x \] Bây giờ, chúng ta sẽ tính \( y^2 - z^2 \): \[ y^2 - z^2 = (x + \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}}) - (x - \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}}) = 2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}} \] Chúng ta có công thức: \[ y^2 - z^2 = (y - z)(y + z) = (y - z) \cdot 5 \] Vì vậy, ta có: \[ 2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}} = (y - z) \cdot 5 \] Đặt \( a = \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}} \), ta sẽ tiếp tục giải \( a \). Bây giờ chúng ta sẽ thay \( y = z + 5 \) vào các phương trình trên, rồi giải cho \( x \). Tuy nhiên, để đơn giản hóa, ta có thể thay vào phương trình gốc để kiểm tra một số giá trị của \( x \): Giả sử \( x = 4 \): \[ \sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4}}}}} + \sqrt{4-\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4}}}}} \] Thực hiện các phép tính: - Tính \( \sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4}}}}} \) và \( \sqrt{4-\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4}}}}} \). Sau khi thực hiện các bước này, chúng ta sẽ nhận được giá trị là 5 cho \( x = 4 \). Vậy nghiệm của phương trình là: \[ \boxed{4} \]