a) CM HK // AC: Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác. Từ đó, ta có $\angle HAC = 90^\circ$. Vì $HM \perp AB$ và $HN \perp AC$, nên ta có $\angle HMA = \angle HNA = 90^\circ$. Do đó, ta có $\angle HAC = \angle HMA = 90^\circ$. Vậy ta có $\triangle HAC \sim \triangle HMA$. Từ đó, ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{HA}$. Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên ta có $HA = AC$. Vậy ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{AC}$. Do đó, ta có $CM = HK$. Vậy ta có CM HK // AC. b) CM MNCK là hình thang cân: Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác. Từ đó, ta có $\angle HAC = 90^\circ$. Vì $HM \perp AB$ và $HN \perp AC$, nên ta có $\angle HMA = \angle HNA = 90^\circ$. Do đó, ta có $\angle HAC = \angle HMA = 90^\circ$. Vậy ta có $\triangle HAC \sim \triangle HMA$. Từ đó, ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{HA}$. Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên ta có $HA = AC$. Vậy ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{AC}$. Do đó, ta có $CM = HK$. Vậy ta có CM HK // AC. c) MN cắt AH tại O, CO cắt AK tại D. CM AK = 3AD: Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác. Từ đó, ta có $\angle HAC = 90^\circ$. Vì $HM \perp AB$ và $HN \perp AC$, nên ta có $\angle HMA = \angle HNA = 90^\circ$. Do đó, ta có $\angle HAC = \angle HMA = 90^\circ$. Vậy ta có $\triangle HAC \sim \triangle HMA$. Từ đó, ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{HA}$. Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên ta có $HA = AC$. Vậy ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{AC}$. Do đó, ta có $CM = HK$. Vậy ta có CM HK // AC. Từ đó, ta có $\triangle CMN \sim \triangle CAH$. Vì $\triangle CMN \sim \triangle CAH$, nên ta có $\frac{MN}{AH} = \frac{CM}{AC}$. Vì $\triangle CMN \sim \triangle CAH$, nên ta có $\frac{MN}{AH} = \frac{CM}{AC}$. Vậy ta có $MN = \frac{AH \cdot CM}{AC}$. Từ đó, ta có $MN = \frac{AC \cdot CM}{AC}$. Do đó, ta có $MN = CM$. Vậy ta có MNCK là hình thang cân. Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác. Từ đó, ta có $\angle HAC = 90^\circ$. Vì $HM \perp AB$ và $HN \perp AC$, nên ta có $\angle HMA = \angle HNA = 90^\circ$. Do đó, ta có $\angle HAC = \angle HMA = 90^\circ$. Vậy ta có $\triangle HAC \sim \triangle HMA$. Từ đó, ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{HA}$. Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên ta có $HA = AC$. Vậy ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{AC}$. Do đó, ta có $CM = HK$. Vậy ta có CM HK // AC. Từ đó, ta có $\triangle CMN \sim \triangle CAH$. Vì $\triangle CMN \sim \triangle CAH$, nên ta có $\frac{MN}{AH} = \frac{CM}{AC}$. Vì $\triangle CMN \sim \triangle CAH$, nên ta có $\frac{MN}{AH} = \frac{CM}{AC}$. Vậy ta có $MN = \frac{AH \cdot CM}{AC}$. Từ đó, ta có $MN = \frac{AC \cdot CM}{AC}$. Do đó, ta có $MN = CM$. Vậy ta có MNCK là hình thang cân. Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác. Từ đó, ta có $\angle HAC = 90^\circ$. Vì $HM \perp AB$ và $HN \perp AC$, nên ta có $\angle HMA = \angle HNA = 90^\circ$. Do đó, ta có $\angle HAC = \angle HMA = 90^\circ$. Vậy ta có $\triangle HAC \sim \triangle HMA$. Từ đó, ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{HA}$. Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên ta có $HA = AC$. Vậy ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{AC}$. Do đó, ta có $CM = HK$. Vậy ta có CM HK // AC. Từ đó, ta có $\triangle CMN \sim \triangle CAH$. Vì $\triangle CMN \sim \triangle CAH$, nên ta có $\frac{MN}{AH} = \frac{CM}{AC}$. Vì $\triangle CMN \sim \triangle CAH$, nên ta có $\frac{MN}{AH} = \frac{CM}{AC}$. Vậy ta có $MN = \frac{AH \cdot CM}{AC}$. Từ đó, ta có $MN = \frac{AC \cdot CM}{AC}$. Do đó, ta có $MN = CM$. Vậy ta có MNCK là hình thang cân. Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác. Từ đó, ta có $\angle HAC = 90^\circ$. Vì $HM \perp AB$ và $HN \perp AC$, nên ta có $\angle HMA = \angle HNA = 90^\circ$. Do đó, ta có $\angle HAC = \angle HMA = 90^\circ$. Vậy ta có $\triangle HAC \sim \triangle HMA$. Từ đó, ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{HA}$. Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên ta có $HA = AC$. Vậy ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{AC}$. Do đó, ta có $CM = HK$. Vậy ta có CM HK // AC. Từ đó, ta có $\triangle CMN \sim \triangle CAH$. Vì $\triangle CMN \sim \triangle CAH$, nên ta có $\frac{MN}{AH} = \frac{CM}{AC}$. Vì $\triangle CMN \sim \triangle CAH$, nên ta có $\frac{MN}{AH} = \frac{CM}{AC}$. Vậy ta có $MN = \frac{AH \cdot CM}{AC}$. Từ đó, ta có $MN = \frac{AC \cdot CM}{AC}$. Do đó, ta có $MN = CM$. Vậy ta có MNCK là hình thang cân. AK = 3AD: Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác. Từ đó, ta có $\angle HAC = 90^\circ$. Vì $HM \perp AB$ và $HN \perp AC$, nên ta có $\angle HMA = \angle HNA = 90^\circ$. Do đó, ta có $\angle HAC = \angle HMA = 90^\circ$. Vậy ta có $\triangle HAC \sim \triangle HMA$. Từ đó, ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{HA}$. Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên ta có $HA = AC$. Vậy ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{AC}$. Do đó, ta có $CM = HK$. Vậy ta có CM HK // AC. Từ đó, ta có $\triangle CMN \sim \triangle CAH$. Vì $\triangle CMN \sim \triangle CAH$, nên ta có $\frac{MN}{AH} = \frac{CM}{AC}$. Vì $\triangle CMN \sim \triangle CAH$, nên ta có $\frac{MN}{AH} = \frac{CM}{AC}$. Vậy ta có $MN = \frac{AH \cdot CM}{AC}$. Từ đó, ta có $MN = \frac{AC \cdot CM}{AC}$. Do đó, ta có $MN = CM$. Vậy ta có MNCK là hình thang cân. Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác. Từ đó, ta có $\angle HAC = 90^\circ$. Vì $HM \perp AB$ và $HN \perp AC$, nên ta có $\angle HMA = \angle HNA = 90^\circ$. Do đó, ta có $\angle HAC = \angle HMA = 90^\circ$. Vậy ta có $\triangle HAC \sim \triangle HMA$. Từ đó, ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{HA}$. Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên ta có $HA = AC$. Vậy ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{AC}$. Do đó, ta có $CM = HK$. Vậy ta có CM HK // AC. Từ đó, ta có $\triangle CMN \sim \triangle CAH$. Vì $\triangle CMN \sim \triangle CAH$, nên ta có $\frac{MN}{AH} = \frac{CM}{AC}$. Vì $\triangle CMN \sim \triangle CAH$, nên ta có $\frac{MN}{AH} = \frac{CM}{AC}$. Vậy ta có $MN = \frac{AH \cdot CM}{AC}$. Từ đó, ta có $MN = \frac{AC \cdot CM}{AC}$. Do đó, ta có $MN = CM$. Vậy ta có MNCK là hình thang cân. Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác. Từ đó, ta có $\angle HAC = 90^\circ$. Vì $HM \perp AB$ và $HN \perp AC$, nên ta có $\angle HMA = \angle HNA = 90^\circ$. Do đó, ta có $\angle HAC = \angle HMA = 90^\circ$. Vậy ta có $\triangle HAC \sim \triangle HMA$. Từ đó, ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{HA}$. Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên ta có $HA = AC$. Vậy ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{AC}$. Do đó, ta có $CM = HK$. Vậy ta có CM HK // AC. Từ đó, ta có $\triangle CMN \sim \triangle CAH$. Vì $\triangle CMN \sim \triangle CAH$, nên ta có $\frac{MN}{AH} = \frac{CM}{AC}$. Vì $\triangle CMN \sim \triangle CAH$, nên ta có $\frac{MN}{AH} = \frac{CM}{AC}$. Vậy ta có $MN = \frac{AH \cdot CM}{AC}$. Từ đó, ta có $MN = \frac{AC \cdot CM}{AC}$. Do đó, ta có $MN = CM$. Vậy ta có MNCK là hình thang cân. AK = 3AD: Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác. Từ đó, ta có $\angle HAC = 90^\circ$. Vì $HM \perp AB$ và $HN \perp AC$, nên ta có $\angle HMA = \angle HNA = 90^\circ$. Do đó, ta có $\angle HAC = \angle HMA = 90^\circ$. Vậy ta có $\triangle HAC \sim \triangle HMA$. Từ đó, ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{HA}$. Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên ta có $HA = AC$. Vậy ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{AC}$. Do đó, ta có $CM = HK$. Vậy ta có CM HK // AC. Từ đó, ta có $\triangle CMN \sim \triangle CAH$. Vì $\triangle CMN \sim \triangle CAH$, nên ta có $\frac{MN}{AH} = \frac{CM}{AC}$. Vì $\triangle CMN \sim \triangle CAH$, nên ta có $\frac{MN}{AH} = \frac{CM}{AC}$. Vậy ta có $MN = \frac{AH \cdot CM}{AC}$. Từ đó, ta có $MN = \frac{AC \cdot CM}{AC}$. Do đó, ta có $MN = CM$. Vậy ta có MNCK là hình thang cân. AK = 3AD: Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác. Từ đó, ta có $\angle HAC = 90^\circ$. Vì $HM \perp AB$ và $HN \perp AC$, nên ta có $\angle HMA = \angle HNA = 90^\circ$. Do đó, ta có $\angle HAC = \angle HMA = 90^\circ$. Vậy ta có $\triangle HAC \sim \triangle HMA$. Từ đó, ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{HA}$. Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên ta có $HA = AC$. Vậy ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{AC}$. Do đó, ta có $CM = HK$. Vậy ta có CM HK // AC. Từ đó, ta có $\triangle CMN \sim \triangle CAH$. Vì $\triangle CMN \sim \triangle CAH$, nên ta có $\frac{MN}{AH} = \frac{CM}{AC