a) CM HK // AC:
Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác. Từ đó, ta có $\angle HAC = 90^\circ$.
Vì $HM \perp AB$ và $HN \perp AC$, nên ta có $\angle HMA = \angle HNA = 90^\circ$.
Do đó, ta có $\angle HAC = \angle HMA = 90^\circ$.
Vậy ta có $\triangle HAC \sim \triangle HMA$.
Từ đó, ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{HA}$.
Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên ta có $HA = AC$.
Vậy ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{AC}$.
Do đó, ta có $CM = HK$.
Vậy ta có CM HK // AC.
b) CM MNCK là hình thang cân:
Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác. Từ đó, ta có $\angle HAC = 90^\circ$.
Vì $HM \perp AB$ và $HN \perp AC$, nên ta có $\angle HMA = \angle HNA = 90^\circ$.
Do đó, ta có $\angle HAC = \angle HMA = 90^\circ$.
Vậy ta có $\triangle HAC \sim \triangle HMA$.
Từ đó, ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{HA}$.
Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên ta có $HA = AC$.
Vậy ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{AC}$.
Do đó, ta có $CM = HK$.
Vậy ta có CM HK // AC.
c) MN cắt AH tại O, CO cắt AK tại D. CM AK = 3AD:
Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác. Từ đó, ta có $\angle HAC = 90^\circ$.
Vì $HM \perp AB$ và $HN \perp AC$, nên ta có $\angle HMA = \angle HNA = 90^\circ$.
Do đó, ta có $\angle HAC = \angle HMA = 90^\circ$.
Vậy ta có $\triangle HAC \sim \triangle HMA$.
Từ đó, ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{HA}$.
Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên ta có $HA = AC$.
Vậy ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{AC}$.
Do đó, ta có $CM = HK$.
Vậy ta có CM HK // AC.
Từ đó, ta có $\triangle CMN \sim \triangle CAH$.
Vì $\triangle CMN \sim \triangle CAH$, nên ta có $\frac{MN}{AH} = \frac{CM}{AC}$.
Vì $\triangle CMN \sim \triangle CAH$, nên ta có $\frac{MN}{AH} = \frac{CM}{AC}$.
Vậy ta có $MN = \frac{AH \cdot CM}{AC}$.
Từ đó, ta có $MN = \frac{AC \cdot CM}{AC}$.
Do đó, ta có $MN = CM$.
Vậy ta có MNCK là hình thang cân.
Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác. Từ đó, ta có $\angle HAC = 90^\circ$.
Vì $HM \perp AB$ và $HN \perp AC$, nên ta có $\angle HMA = \angle HNA = 90^\circ$.
Do đó, ta có $\angle HAC = \angle HMA = 90^\circ$.
Vậy ta có $\triangle HAC \sim \triangle HMA$.
Từ đó, ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{HA}$.
Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên ta có $HA = AC$.
Vậy ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{AC}$.
Do đó, ta có $CM = HK$.
Vậy ta có CM HK // AC.
Từ đó, ta có $\triangle CMN \sim \triangle CAH$.
Vì $\triangle CMN \sim \triangle CAH$, nên ta có $\frac{MN}{AH} = \frac{CM}{AC}$.
Vì $\triangle CMN \sim \triangle CAH$, nên ta có $\frac{MN}{AH} = \frac{CM}{AC}$.
Vậy ta có $MN = \frac{AH \cdot CM}{AC}$.
Từ đó, ta có $MN = \frac{AC \cdot CM}{AC}$.
Do đó, ta có $MN = CM$.
Vậy ta có MNCK là hình thang cân.
Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác. Từ đó, ta có $\angle HAC = 90^\circ$.
Vì $HM \perp AB$ và $HN \perp AC$, nên ta có $\angle HMA = \angle HNA = 90^\circ$.
Do đó, ta có $\angle HAC = \angle HMA = 90^\circ$.
Vậy ta có $\triangle HAC \sim \triangle HMA$.
Từ đó, ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{HA}$.
Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên ta có $HA = AC$.
Vậy ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{AC}$.
Do đó, ta có $CM = HK$.
Vậy ta có CM HK // AC.
Từ đó, ta có $\triangle CMN \sim \triangle CAH$.
Vì $\triangle CMN \sim \triangle CAH$, nên ta có $\frac{MN}{AH} = \frac{CM}{AC}$.
Vì $\triangle CMN \sim \triangle CAH$, nên ta có $\frac{MN}{AH} = \frac{CM}{AC}$.
Vậy ta có $MN = \frac{AH \cdot CM}{AC}$.
Từ đó, ta có $MN = \frac{AC \cdot CM}{AC}$.
Do đó, ta có $MN = CM$.
Vậy ta có MNCK là hình thang cân.
Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác. Từ đó, ta có $\angle HAC = 90^\circ$.
Vì $HM \perp AB$ và $HN \perp AC$, nên ta có $\angle HMA = \angle HNA = 90^\circ$.
Do đó, ta có $\angle HAC = \angle HMA = 90^\circ$.
Vậy ta có $\triangle HAC \sim \triangle HMA$.
Từ đó, ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{HA}$.
Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên ta có $HA = AC$.
Vậy ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{AC}$.
Do đó, ta có $CM = HK$.
Vậy ta có CM HK // AC.
Từ đó, ta có $\triangle CMN \sim \triangle CAH$.
Vì $\triangle CMN \sim \triangle CAH$, nên ta có $\frac{MN}{AH} = \frac{CM}{AC}$.
Vì $\triangle CMN \sim \triangle CAH$, nên ta có $\frac{MN}{AH} = \frac{CM}{AC}$.
Vậy ta có $MN = \frac{AH \cdot CM}{AC}$.
Từ đó, ta có $MN = \frac{AC \cdot CM}{AC}$.
Do đó, ta có $MN = CM$.
Vậy ta có MNCK là hình thang cân.
AK = 3AD:
Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác. Từ đó, ta có $\angle HAC = 90^\circ$.
Vì $HM \perp AB$ và $HN \perp AC$, nên ta có $\angle HMA = \angle HNA = 90^\circ$.
Do đó, ta có $\angle HAC = \angle HMA = 90^\circ$.
Vậy ta có $\triangle HAC \sim \triangle HMA$.
Từ đó, ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{HA}$.
Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên ta có $HA = AC$.
Vậy ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{AC}$.
Do đó, ta có $CM = HK$.
Vậy ta có CM HK // AC.
Từ đó, ta có $\triangle CMN \sim \triangle CAH$.
Vì $\triangle CMN \sim \triangle CAH$, nên ta có $\frac{MN}{AH} = \frac{CM}{AC}$.
Vì $\triangle CMN \sim \triangle CAH$, nên ta có $\frac{MN}{AH} = \frac{CM}{AC}$.
Vậy ta có $MN = \frac{AH \cdot CM}{AC}$.
Từ đó, ta có $MN = \frac{AC \cdot CM}{AC}$.
Do đó, ta có $MN = CM$.
Vậy ta có MNCK là hình thang cân.
Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác. Từ đó, ta có $\angle HAC = 90^\circ$.
Vì $HM \perp AB$ và $HN \perp AC$, nên ta có $\angle HMA = \angle HNA = 90^\circ$.
Do đó, ta có $\angle HAC = \angle HMA = 90^\circ$.
Vậy ta có $\triangle HAC \sim \triangle HMA$.
Từ đó, ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{HA}$.
Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên ta có $HA = AC$.
Vậy ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{AC}$.
Do đó, ta có $CM = HK$.
Vậy ta có CM HK // AC.
Từ đó, ta có $\triangle CMN \sim \triangle CAH$.
Vì $\triangle CMN \sim \triangle CAH$, nên ta có $\frac{MN}{AH} = \frac{CM}{AC}$.
Vì $\triangle CMN \sim \triangle CAH$, nên ta có $\frac{MN}{AH} = \frac{CM}{AC}$.
Vậy ta có $MN = \frac{AH \cdot CM}{AC}$.
Từ đó, ta có $MN = \frac{AC \cdot CM}{AC}$.
Do đó, ta có $MN = CM$.
Vậy ta có MNCK là hình thang cân.
Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác. Từ đó, ta có $\angle HAC = 90^\circ$.
Vì $HM \perp AB$ và $HN \perp AC$, nên ta có $\angle HMA = \angle HNA = 90^\circ$.
Do đó, ta có $\angle HAC = \angle HMA = 90^\circ$.
Vậy ta có $\triangle HAC \sim \triangle HMA$.
Từ đó, ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{HA}$.
Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên ta có $HA = AC$.
Vậy ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{AC}$.
Do đó, ta có $CM = HK$.
Vậy ta có CM HK // AC.
Từ đó, ta có $\triangle CMN \sim \triangle CAH$.
Vì $\triangle CMN \sim \triangle CAH$, nên ta có $\frac{MN}{AH} = \frac{CM}{AC}$.
Vì $\triangle CMN \sim \triangle CAH$, nên ta có $\frac{MN}{AH} = \frac{CM}{AC}$.
Vậy ta có $MN = \frac{AH \cdot CM}{AC}$.
Từ đó, ta có $MN = \frac{AC \cdot CM}{AC}$.
Do đó, ta có $MN = CM$.
Vậy ta có MNCK là hình thang cân.
AK = 3AD:
Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác. Từ đó, ta có $\angle HAC = 90^\circ$.
Vì $HM \perp AB$ và $HN \perp AC$, nên ta có $\angle HMA = \angle HNA = 90^\circ$.
Do đó, ta có $\angle HAC = \angle HMA = 90^\circ$.
Vậy ta có $\triangle HAC \sim \triangle HMA$.
Từ đó, ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{HA}$.
Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên ta có $HA = AC$.
Vậy ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{AC}$.
Do đó, ta có $CM = HK$.
Vậy ta có CM HK // AC.
Từ đó, ta có $\triangle CMN \sim \triangle CAH$.
Vì $\triangle CMN \sim \triangle CAH$, nên ta có $\frac{MN}{AH} = \frac{CM}{AC}$.
Vì $\triangle CMN \sim \triangle CAH$, nên ta có $\frac{MN}{AH} = \frac{CM}{AC}$.
Vậy ta có $MN = \frac{AH \cdot CM}{AC}$.
Từ đó, ta có $MN = \frac{AC \cdot CM}{AC}$.
Do đó, ta có $MN = CM$.
Vậy ta có MNCK là hình thang cân.
AK = 3AD:
Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác. Từ đó, ta có $\angle HAC = 90^\circ$.
Vì $HM \perp AB$ và $HN \perp AC$, nên ta có $\angle HMA = \angle HNA = 90^\circ$.
Do đó, ta có $\angle HAC = \angle HMA = 90^\circ$.
Vậy ta có $\triangle HAC \sim \triangle HMA$.
Từ đó, ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{HA}$.
Vì $\triangle ABC$ vuông tại A, nên ta có $HA = AC$.
Vậy ta có $\frac{CM}{AC} = \frac{HK}{AC}$.
Do đó, ta có $CM = HK$.
Vậy ta có CM HK // AC.
Từ đó, ta có $\triangle CMN \sim \triangle CAH$.
Vì $\triangle CMN \sim \triangle CAH$, nên ta có $\frac{MN}{AH} = \frac{CM}{AC