Tính giá trị biểu thức A=1/2.3+1/3.4+1/4.5+…+1/999.1000

Question

Timi · Accepted Answer

Để tính giá trị của biểu thức

$$ 
A = \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \ldots + \frac{1}{999 \cdot 1000} 
$$

ta có thể viết lại mỗi phần tử trong tổng theo dạng:

$$
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
$$

Vì vậy, biểu thức A có thể được viết lại như sau:

$$
A = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{999} - \frac{1}{1000} \right)
$$

Như vậy, chúng ta có một chuỗi tổng đồng nhất (telescoping series), và nhiều phần tử sẽ bị triệt tiêu. Cụ thể:

- Phần tử $\frac{1}{3}$ trong phần đầu tiên sẽ triệt tiêu với $-\frac{1}{3}$ trong phần thứ hai.
- Phần tử $\frac{1}{4}$ sẽ triệt tiêu với $-\frac{1}{4}$ trong phần thứ ba, và tiếp tục như vậy cho đến phần tử $-\frac{1}{999}$.

Cuối cùng, chúng ta còn lại:

$$
A = \frac{1}{2} - \frac{1}{1000}
$$

Tính giá trị:

$$
A = \frac{1}{2} - \frac{1}{1000} = \frac{500}{1000} - \frac{1}{1000} = \frac{499}{1000}
$$

Vậy giá trị của biểu thức $ A $ là

$$
\boxed{\frac{499}{1000}}
$$

Quỳnh Anh · Answer

{"userId":5435942,"userName":"ELENA263"}

Để tính giá trị của biểu thức $A = \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{999 \cdot 1000}$, chúng ta sử dụng công thức tách phân số:

$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

________________________________________

Các bước giải chi tiết:

1. Tách từng số hạng trong biểu thức:

• $\frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$

• $\frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$

• $\frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$

• ...

• $\frac{1}{999 \cdot 1000} = \frac{1}{999} - \frac{1}{1000}$

2. Thay thế vào biểu thức A:

$A=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)+\dots +\left(\frac{1}{999}-\frac{1}{1000}\right)$

3. Rút gọn các số hạng đối nhau:

Các số hạng ở giữa sẽ triệt tiêu lẫn nhau ($-\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 0$, $-\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 0$, v.v.), chỉ còn lại số hạng đầu và số hạng cuối:

$A=\frac{1}{2}-\frac{1}{1000}$

4. Tính kết quả cuối cùng:

$A=\frac{500}{1000}-\frac{1}{1000}=\frac{\mathbf{499}}{\mathbf{1000}}$

Hoặc dưới dạng số thập phân: $0,499$.

Huycindy · Answer

$A = \dfrac{1}{2 	imes 3} + \dfrac{1}{3 	imes 4} + \dfrac{1}{4 	imes 5} + \dots + \dfrac{1}{999 	imes 1000}$
$A = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{5} + \dots + \dfrac{1}{999} - \dfrac{1}{1000}$
$A = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{1000}$
$A = \dfrac{500}{1000} - \dfrac{1}{1000}$
$A = \dfrac{499}{1000}$

ミ★ĐườПG Y Y★彡︵²ᵏ⁹ · Answer

Ta có:

A = 1/(2.3) + 1/(3.4) + 1/(4.5) + ... + 1/(999.1000)

Ta biến đổi:

1/[n(n+1)] = 1/n − 1/(n+1)

Suy ra:

A = (1/2 − 1/3) + (1/3 − 1/4) + (1/4 − 1/5) + ... + (1/999 − 1/1000)

Các số hạng triệt tiêu nhau, còn:

A = 1/2 − 1/1000

= 500/1000 − 1/1000

= 499/1000

Vậy:

A = 499/1000.