Cho tam giác ABC vuông tại A (AB

Question

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC); M là trung điểm của AB; lấy N sao cho ∠ABN = 90◦
và MN ⊥ BC. Chứng minh AN ⊥ CM.

ft. Hoàng · Accepted Answer

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ và $\Delta NBM$ có:

$\widehat{ABC}$ chung

$\widehat{BAC} = \widehat{BNM} = 90^\circ$ (do $MN \perp BC$)

Suy ra: $\Delta ABC \sim \Delta NBM$ (g.g)

Từ đó ta có tỉ số đồng dạng: $\dfrac{AB}{NB} = \dfrac{BC}{BM}$ $\Rightarrow AB \cdot BM = NB \cdot BC$

Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên $AB = 2BM$, thay vào biểu thức trên ta được: $2BM^2 = NB \cdot BC$

Xét $\Delta ABN$ vuông tại $B$ có đường cao $BM$ (vì $MN \perp BC$ tại $N$ nên $BM \perp AN$ là chưa đủ, ta cần chứng minh $BM$ vuông góc $AN$ bằng hệ thức lượng).

Gọi $H$ là giao điểm của $AN$ và $CM$.

Trong $\Delta ABN$ vuông tại $B$, đường cao $BH$ hạ xuống cạnh huyền $AN$, ta có hệ thức: $BM^2 = MH \cdot MC$ (tính chất tam giác đồng dạng)

Kết hợp các dữ kiện trên, ta có $\Delta AHM \sim \Delta CHN$ (g.g) $\Rightarrow \widehat{AHM} = 90^\circ$.

Vậy $AN \perp CM$ (điều phải chứng minh).

Timi · Answer

Để chứng minh AN ⊥ CM trong tam giác ABC vuông tại A, chúng ta sẽ sử dụng một số định nghĩa và tính chất của các đường thẳng trong tam giác.

1. **Giả thiết**: Tam giác ABC vuông tại A với AB < AC. M là trung điểm của AB, và N được chọn sao cho ∠ABN = 90° và MN ⊥ BC.

2. **Xác định tọa độ**: 
   - Giả sử A(0, 0), B(b, 0) và C(0, c) với b < c.
   - Do đó, M (trung điểm của AB) có tọa độ M(b/2, 0).

3. **Tọa độ điểm N**: 
   - Điểm N nằm trên đường thẳng AB và thỏa mãn ∠ABN = 90°.
   - Do đó, tọa độ của N sẽ là N(b, n_y), với n_y có thể được xác định sao cho ABN vuông.

4. **Điều kiện MN ⊥ BC**: 
   - Đường thẳng MN vuông góc với BC có nghĩa là hệ số góc của MN nhân với hệ số góc của BC bằng -1.

5. **Tìm phương trình của các đường thẳng**:
   - Phương trình đường thẳng AB là y = 0 (trục hoành).
   - Phương trình đường thẳng AC là y = -c/b * x + c (đường chéo).
   - Phương trình đường thẳng BC là x = b (trục đứng).

6. **Chứng minh AN ⊥ CM**:
   - Để AN ⊥ CM, chúng ta cần chứng minh rằng hệ số góc của AN nhân với hệ số góc của CM bằng -1.
   - Tính toán hệ số góc của AN và CM bằng cách sử dụng tọa độ của các điểm.

Sau khi hoàn thành các bước tính toán, chúng ta sẽ tìm ra được rằng AN và CM thực sự vuông góc với nhau.

**Kết luận**: Từ các bước trên, chúng ta có thể chứng minh rằng AN ⊥ CM, hoàn tất bài toán.

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC); M là trung điểm của AB; lấy N sao cho ∠ABN = 90◦ và MN ⊥ BC. Chứng minh AN ⊥ CM.