Chuyên đề định lý Cosin lớp 10 và bài tập vận dụng kiến thức

Định lý Cosin lớp 10 có công thức như thế nào? Nắm rõ công thức sẽ giúp các em rất nhiều trong việc giải các bài tập liên quan và các bài toán hình trong suốt chương trình toán THPT. Vì vậy, Admin sẽ cung cấp kiến thức, đưa ra một số bài tập vận dụng kiến thức để giúp các em đạt hiệu quả học tập cao nhất. Cùng đi vào bài học ngay hôm nay với Admin ngay thôi nào!!

Định lý Cosin trong tam giác

Định lý hay định lý hàm Cos được phát minh bởi Al Kashi. Al Kashi (1380 – 22/06/1429) - Ông là một nhà toán học nổi tiếng Iran. Vì vậy, định lý Cosin còn được gọi là định lý Al Kashi.

Phát biểu định lý Cosin bằng lời

Trong một tam giác, bình phương 1 cạnh bằng tổng bình phương 2 cạnh còn lại trừ đi 2 lần tích của chúng nhân với Cosin của góc được tạo nên bởi 2 cạnh đó.

Công thức định lý Cosin lớp 10

Tam giác ABC có cạnh c, a và b

Trong tam giác ABC, cho AB = c, BC = a, AC = b, ta có:

$\begin{aligned} & a^2=b^2+c^2-2 b c \cos A \\ & b^2=a^2+c^2-2 a c \cos B \\ & c^2=a^2+b^2-2 a b \cos C\end{aligned}$

=> Khi biết độ dài 2 cạnh và góc được tạo nên bởi 2 cạnh đó, các em hoàn toàn có thể tích độ dài cạnh còn lại.

Chứng minh định lý Cosin lớp 10

Muốn chứng minh định lý Cosin, các em có thể dùng phương pháp sau:

Cho một tam giác ABC, với BC = a, AC = ba và AB = c

Kẻ từ đỉnh C xuống cạnh AB một đường cao CH và đưa hình tam giác vào hệ tọa độ Oxy như hình.

Tam giác ABC với đường cao CH

Khi đó ta có:

$\begin{aligned} & A(0 ; 0), B(c ; 0) \text {. Gọ tọa độ góc } C(x ; y)=>x=b \cdot \operatorname{Cos} A \text { và } y=b \cdot \operatorname{Sin} A \\ & \Rightarrow C(b \cdot \operatorname{Cos} A ; b \cdot \operatorname{Sin} A)=>B C=(b \cdot \operatorname{Cos} A-c ; b \cdot \operatorname{Sin} A) \\ & \text { Mà } a=|B C|=(b \cdot \operatorname{Cos} A-c) 2+(b \cdot \sin A) 2 \\ & \Rightarrow a^2=(b \cdot \operatorname{Cos} A-c) 2+(b \cdot \operatorname{Sin} A) 2=b^2+c^2-2 b c \cdot \operatorname{Cos} A \\ & \text { Vậy, } a^2=b^2+c^2-2 b c \cdot \operatorname{Cos} A\end{aligned}$

Tương tự các em cũng sẽ chứng minh được:

$\begin{aligned} & b^2=a^2+c^2-2 a c \cdot \operatorname{Cos} B \\ & c^2=a^2+b^2-2 a b \cdot \operatorname{Cos} C\end{aligned}$

Hệ quả của định lý Cosin

Từ định lý Cosin, các em có thể tính giá trị các góc theo các cạnh trong tam giác ABC như sau:

$\begin{aligned} & \cos \mathrm{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c} \\ & \cos \mathrm{B}=\frac{a^2+c^2-b^2}{2 a c} \\ & \cos \mathrm{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2 a b}\end{aligned}$

Ngoài ra, cũng nhờ vào định lý Cosin trong tam giác, các bạn có thể kẻ trung tuyến từ các định A, B, C lần lượt mà ma, mb, mc. Khi đó ta có:

$m a^2=2 b^2+c^2-a^2 \cdot 4 \cdot m b^2=2 a^2+c^2-b^2 \cdot 4 \cdot m c^2=2 a^2+b^2-c^2 \cdot 4 \cdot m a^2$

Bài tập định lý Cosin vận dụng kiến thức

Các em đã nắm rõ về định lý Cosin trong tam giác, giờ đã đến lúc vận dụng lý thuyết vào làm bài tập rồi. Admin sẽ đưa ra một số dạng bài tập để các em tập giải và rèn luyện kỹ năng làm bài cho bản thân như sau:

Bài 1: Cho tam giác ABC có A  = $60^{\circ}$, độ dài AB và AC lần lượt là 6cm và 8cm. Hỏi độ dài cạnh BC bằng bao nhiêu?

Giải

Hình ảnh minh họa bài tập 1

Áp dụng định lý Cosin trong tam giác ABC, ta có:

$B^2=A B^2+A C^2-2 \cdot A B \cdot A C \cdot \operatorname{Cos} A=6^2+8^2-2 \cdot6\cdot8 \cdot\operatorname{Cos} $$=36+64-48=52(\mathrm{~cm})$

$\Rightarrow B C=52=213(\mathrm{~cm})$

Vậy, độ dài cạnh BC của tam giác ABC là 213 (cm).

Bài 2: Cho tam giác ABC với độ dài các cạnh lần lượt là, BC = 6cm, AB = 2cm, AC = 42cm. Hãy tính CosA và góc A bằng bao nhiêu độ.

Giải

Hình ảnh minh họa của bài tập 2

Áp dụng hệ quả của định lý Cosin trong tam giac ABC, ta có:

$\cos \mathrm{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c}$ = $\frac{2^2+(4 \sqrt{2})^2-6^2}{2.2.4 \sqrt{2}}$

$\Rightarrow góc  A=90^{\circ}$

Bài 3: Cho tam giác ABC với độ dài các cạnh AC = 5cm, AB = 6cm và ACB  =$60^{\circ}$. Hỏi độ dài cạnh BC bằng bao nhiêu?

Giải: 

Hình minh họa bài tập 3

Áp dụng định lý Cosin trong tam giác ABC, ta có:

$\begin{aligned} & A B^2=A C^2+B C^2-2 \cdot A C \cdot B C \cdot \operatorname{Cos} C \\ & \Rightarrow 6^2=5^2+B C^2-2 \cdot 5 \cdot B C \cdot \operatorname{Cos} 60^0 \\ & \Rightarrow B C^2-B C-11=0 \\ & \Rightarrow B C=5+692(\mathrm{~cm})\end{aligned}$

Vậy độ dài cạnh BC là 5 + 692 (cm).

Như vậy, bài viết trên Admin đã giúp các em ôn lại kiến thức về định lý Cosin trong tam giác. Đồng thời cũng cung cấp đến các em một số bài tập vận dụng. Hy vọng nó sẽ giúp các em nhớ công thức và có kỹ năng làm bài toán hình lớp 10 hiệu quả nhé! Chúc các em thành công và luôn đạt điểm cao môn toán.