Nắm trọn kiến thức lý thuyết về định lý Talet trong toán 8

Trong chương trình toán hình học 8, định lý Talet là phần kiến thức quan trọng mà các em cần nắm được. Hiểu rõ về định lý này, các em có thể áp dụng vào chứng minh đoạn thẳng song song hoặc các tỉ số đoạn thẳng. Bài viết dưới đây Admin sẽ giúp các em nắm trọn kiến thức lý thuyết quan trọng và cách vận dụng vào giải một số ví dụ cơ bản. Đọc ngay để bỏ túi kiến thức toán học bổ ích nhé!

Trước khi nắm định lý Talet các em cần ôn lại kiến thức về tỉ số của 2 đoạn thẳng, hiểu rõ về chúng rất quan trọng trong việc phát triển các công thức định lý Talet.

Tỉ số 2 đoạn thẳng là tỉ số độ dài của 2 đoạn thẳng đo và chúng cần phải có cùng đơn vị đo. Tỉ số 2 đoạn thẳng không hề bị phụ thuộc vào cách chọn các đơn vị đo độ dài. Tỉ số 2 đoạn thẳng AH và BE được ký hiệu là AH/BE.

Tỉ số của 2 đoạn thẳng

Ví dụ 1: Cho 1 đoạn thẳng AB và một tỷ số 2 đoạn thẳng m/n > 0. Biết điểm D thuộc đoạn thẳng AB và $\frac{DA}{DB}$ = $\frac{m}{n}$. Khi đó, D là điểm phân chia đoạn thẳng AB theo tỉ số m/n.

Định lý Talet trong tam giác chia thành định lý thuận và định lý đảo. Cụ thể như sau:

Định lý Talet thuận

Nếu một đường thẳng cắt 2 cạnh của một tam giác và đường thẳng đó song song với cạnh còn lại thì đường thẳng đó tạo nên 2 đoạn thẳng trong những cạnh của tam giác mà nó cắt tương ứng 1 tỷ lệ.

Ví dụ 2: Cho một tam giác ABC, đường thẳng d cắt cạnh AB và AC của tam giác lần lượt tải D và E. Khi đó đoạn thẳng DE // BC của tam giác => $\frac{AD}{DB}$ = $\frac{AE}{EC}$.

Hình ảnh minh họa ví dụ

Định lý Talet đảo

Nếu một đường thẳng cắt 2 cạnh của một tam giác và tạo ra những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác đó. Định lý này đúng cả trong trường hợp đường thẳng cắt phần kéo dài 2 cạnh của 1 tam giác.

Ví dụ 3: Trong tam giác ABC, đường thẳng d cắt cạnh AB và AC lần lượt ở D và E tạo nên các tỉ lệ 2 đoạn thẳng $\frac{AD}{DB}$ = $\frac{AE}{EC}$ => đoạn thẳng DE // BC.

Hình minh họa ví dụ 3

Định lý Talet có những hệ quả được phát biểu như sau:

Hệ quả thứ nhất: Nếu 1 đường thẳng cắt 2 cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì đường thẳng đó có thể tạo thành 1 tam giác mới có 3 cạnh tương ứng tỉ lệ với 3 cạnh của tam giác ban đầu.
Hệ quả thứ hai: Nếu một đường thẳng cắt 2 cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại, nó sẽ tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác ban đầu.
Hệ quả thứ ba: Định lý Talet mở rộng được phát biểu rằng nếu 3 đường thẳng đồng quy thì chắn trên 2 đường thẳng song song các cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Định lý Talet trong hình thang được phát biểu như sau: Nếu có một đường thẳng song song với 2 cạnh đáy và nó cắt 2 cạnh bên của hình thang bất kỳ thì đường thẳng đó sẽ choa 2 cạnh bên của hình thang thành những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Ví dụ 4: Cho một hình thang ABCD, với điểm E thuộc đoạn thẳng AD, điểm F thuộc đoạn thẳng BC. Nếu đoạn thẳng EF // AB // CD thì nó sẽ tạo ra hệ thức: $\frac{AE}{DE}$ = $\frac{BF}{CF}$. Hoặc ngược lại: $\frac{AE}{DE}$ = $\frac{BF}{CF}$ thì ta có thể suy ra: EF // AB // CD.

Hình minh họa cho ví dụ 4

Định lý Talet thuận trong không gian: Ba mặt phẳng song song chắn trên 2 đường thẳng tạo thành những đoạn thẳng tỉ lệ: $\frac{A_{1} \cdot B_{1}}{B_{2} \cdot C_{1}} = \frac{A_{2 \cdot} B_{2}}{B_{2} \cdot C_{2}}$

=> Định lý Talet đảo trong không gian: Cho 2 đường thẳng d₁ và d₂ chéo nhau và các điểm A₁, B₁, C₁ nằm trên đường thẳng d₁; các điểm A₂, B₂, C₂ nằm trên đường thẳng d₂ sao cho chuẩn tỉ lệ: $\frac{A_{1} \cdot B_{1}}{B_{2} \cdot C_{1}} = \frac{A_{2 \cdot} B_{2}}{B_{2} \cdot C_{2}}$ . Khi đó đường thẳng: A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂ cùng song song với 1 mặt phẳng và nó sẽ không phải là mặt phẳng nhất.

Hình ảnh minh họa cho định lý Talet trong không gian

Trong quá trình giải bài tập, các em sẽ gặp 2 dạng bài liên quan đến định lý Talet và phương pháp giải chúng như sau:

Dạng 1: Tính độ dài của đoạn thẳng, chu vi, diện tích và các tỉ số

Đối với dạng bài này, các em sẽ phải sử dụng định lý Talet, hệ quả của định lý Talet cùng tỉ số đoạn thẳng để tính toán theo yêu cầu của đề bài đưa ra. Định lý, hệ quả, cũng như tỉ số đoạn thẳng đã được Admin chia sẻ kiến thức rất chi tiết ở trên rồi.

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song hoặc chứng minh các đẳng thức hình học

Đối với bài toán dạng này, các em sẽ áp dụng phương pháp giải bằng cách dùng các định lý Talet thuận và định lý Talet đảo, cùng hệ quả để chứng minh.

Để giúp các em hiểu rõ hơn về định lý Talet thuận và đảo, cùng đi vào ví dụ cụ thể trong các bài tập sau:

Bài tập 1: Cho một hình thang ABCD với đáy AB, từ đỉnh C kẻ một đường thẳng song song với cạnh AD và cắt BD tại P và cắt AB tại E. Từ đỉnh D kẻ một đường thẳng song song với BC và cắt AC tại N, cắt AB tại F. Đường thẳng đi qua E song song với AC, đồng thời cắt cạnh BC tại Q và đường thẳng F song song với cạnh BD cắt cạnh AD tại M.

Hãy chứng minh 4 điểm M, N, P và Q nằm trên một đường thẳng song song với 2 đáy
Chứng minh cạnh MN = PQ
Cho cạnh AB = a, DC = b, hãy chứng minh các điểm M, N, P và Q theo thứ tự chia các đoạn thẳng AD, AC, BD và BC có cùng một tỉ số K. Tính tỉ số K theo a, b.

Giải:

Hình minh họa bài tập 1

1. Theo đề bài ta có: MF //DB => $\frac{AM}{DM}$ = $\frac{AF}{FB}$

Mà FB = DC => $\frac{AM}{DM}$ = $\frac{AF}{DC}$ (*)

DC // AF => $\frac{AF}{DC}$ = $\frac{AN}{NC}$ (**)

Từ (*) và (**) => $\frac{AM}{DM}$ = $\frac{AN}{NC}$

=> MN //DC (***)

Chứng minh tương tự, ta có PQ //DC (****)

MN //DC => MN //AF => $\frac{AM}{MD}$ = $\frac{FN}{ND}$

=> $\frac{FN}{ND}$ = $\frac{BQ}{QC}$

=> $\frac{AM}{MD}$ = $\frac{BQ}{QC}$ => MQ // DC (*****)

Từ (***), (****) và (*****) ta có thể kết luận rằng: 4 điểm M, N, P và Q cùng nằm trên một đường thẳng và song song với cạnh DC.

2. $\frac{MN}{DC}$ = $\frac{AM}{AD}$ và $\frac{PQ}{DC}$ = $\frac{BQ}{BC}$BQ/BC

=> $\frac{MN}{DC}$ = $\frac{PQ}{DC}$ => MN = PQ

3. $\frac{MA}{MD}$ = $\frac{NA}{NC}$ = $\frac{PB}{PD}$ = $\frac{QB}{QC}$ = $\frac{AF}{DC}$ = $\frac{(a - b)}{b}$

Bài 2: Cho một hình thang ABCD với đáy lớn là CD. Cho điểm O là điểm giao nhau giữa 2 đường chéo của hình thang này. Biết đường thẳng A song song với cạnh BC và cắt BD tại điểm E, đường thẳng B song song với cạnh AD cắt đường thẳng AC tại điểm F.

Hãy chứng minh cạnh EF // AB
Chứng minh hệ thức $\mathrm{AB}^2$ = EF.CD
Gọi S₁, S₂, S₃, và S₄ là diện tích lần lượt của các tam giác OAB, OCD, ODA và OBC. Hãy chứng minh S₁.S₂ = S₃.S_4.

Giải:

Hình ảnh minh họa cho bài tập 2

1. Theo đề bài ta co:

AE // BC => $\frac{OE}{OB}$ = $\frac{OA}{OC}$ (*)

AB // DC => $\frac{OA}{OC}$ = $\frac{OB}{OD}$ (**)

BF // AD => $\frac{OF}{OA}$ = $\frac{OB}{OD}$ (***)

Từ (*), (**) và (***) => $\frac{OE}{OB}$ = $\frac{OF}{OA}$ => EF // BC

2. Từ hình vẽ ta có thể dễ dàng nhận thấy AB = MC = DN

Mà AM // BC => $\frac{CD}{MC}$ = $\frac{DB}{EB}$

Vì MC = AB => $\frac{CD}{AB}$ = $\frac{DB}{EB}$ (****)

Mà EF // DC => $\frac{DN}{EF}$ = $\frac{DB}{EB}$

Vì DN = AB => $\frac{AB}{EF}$ = $\frac{DB}{EB}$ (*****)

Từ (****) và (*****) => $\frac{AB}{EF}$ = $\frac{CD}{AB}$

=> $\mathrm{AB}^2$ = EF.CD

3. Ta có:

$\frac{S_{OAB}}{S_{OBC}} = \frac{OA}{OC}; \frac{S_{OAD}}{S_{OCD}} = \frac{OA}{OC}$

=> $\frac{S_{OAB}}{S_{OBC}} = \frac{S_{OAD}}{S_{OCD}}$ => $S_1.S_2 = S_3.S_4$

Như vậy, toàn bộ kiến thức được Admin chia sẻ trong bài viết trên đã giúp các em nắm đầy đủ thông tin bổ ích về định lý Talet. Nếu các em hiểu về định lý này một cách đầy đủ và chuẩn xác, việc áp dụng nó vào chứng minh và tính toán cũng dễ dàng hơn rất nhiều đó nhé! Nếu có bài tập hình học nào liên quan mà các em không thể giải, hãy gửi chúng cho Admin để nhận được sự giúp đỡ nhé!