tìm số nguyên tố p sao cho 2p^2-1,2p^2+3,3p^2+4 là số nguyên tố gải theo cách lớp 8

Để giải bài toán này, ta sử dụng phương pháp kiểm tra nguyên tố của Euler. Ta biết rằng nếu $a$ và $n$ là hai số nguyên tố cùng nhau, thì $a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}$, trong đó $\varphi(n)$ là hàm số Euler, đếm số lượng số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng $n$. Áp dụng phương pháp này vào bài toán, ta có: - Với $2p^2 - 1$, ta có $2p^2 - 1 \equiv 1 \pmod{2}$, do đó $2p^2 - 1$ là số lẻ. Áp dụng công thức $\varphi(n) = n \cdot \prod_{p|n} \left(1 - \frac{1}{p}\right)$, ta tính được $\varphi(2p^2 - 1) = 2p(p-1)$. Nếu $2p^2 - 1$ là số nguyên tố, thì $2^{2p(p-1)} \equiv 1 \pmod{2p^2 - 1}$ theo phương pháp kiểm tra nguyên tố của Euler. Tuy nhiên, ta thấy rằng $2^{2p(p-1)} \equiv 2^{2(p-1)} \equiv 4^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ theo định lý Fermat nhỏ. Do đó, nếu $2p^2 - 1$ là số nguyên tố, thì $p$ phải là số nguyên tố và $2p^2 - 1 \equiv 7 \pmod{8}$. - Với $2p^2 + 3$, ta có $2p^2 + 3 \equiv 3 \pmod{2}$, do đó $2p^2 + 3$ là số lẻ. Tương tự như trường hợp trên, ta tính được $\varphi(2p^2 + 3) = 2p(p+1)$. Nếu $2p^2 + 3$ là số nguyên tố, thì $2^{2p(p+1)} \equiv 1 \pmod{2p^2 + 3}$ theo phương pháp kiểm tra nguyên tố của Euler. Tuy nhiên, ta thấy rằng $2^{2p(p+1)} \equiv 2^{2(p+1)} \equiv 4^{p+1} \equiv 4 \pmod{p}$ theo định lý Fermat nhỏ. Do đó, nếu $2p^2 + 3$ là số nguyên tố, thì $p$ phải là số nguyên tố và $2p^2 + 3 \equiv 5 \pmod{8}$. - Với $3p^2 + 4$, ta có $3p^2 + 4 \equiv 1 \pmod{2}$, do đó $3p^2 + 4$ là số lẻ. Tương tự như trường hợp trên, ta tính được $\varphi(3p^2 + 4) = 3p(p+1)$. Nếu $3p^2 + 4$ là số nguyên tố, thì $2^{3p(p+1)} \equiv 1 \pmod{3p^2 + 4}$ theo phương pháp kiểm tra nguyên tố của Euler. Tuy nhiên, ta thấy rằng $2^{3p(p+1)} \equiv 2^{3(p+1)} \equiv 8^{p+1} \equiv 8 \pmod{p}$ theo định lý Fermat nhỏ. Do đó, nếu $3p^2 + 4$ là số nguyên tố, thì $p$ phải là số nguyên tố và $3p^2 + 4 \equiv 7 \pmod{8}$. Tóm lại, để các số $2p