10. Cho hình tam giác ABC. Trên AB lấy điểm M sao cho AM = 1/3 AB. Trên AC lấy điểm N sao cho AN = 1/4 AC. Nối M với C, nối N với B cắt nhau tại O. Hãy so sánh diện tích tam giác BOC và diện tích tam g...

Gọi $S_{ABC}$, $S_{BOC}$ lần lượt là diện tích của tam giác ABC và tam giác BOC. Ta có thể tính được diện tích của tam giác ABC bằng công thức diện tích tam giác: $S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin{\widehat{A}}$ Vì $\widehat{A} = \widehat{BOC}$ (do AB cắt AC tại A nên $\widehat{BAC} = 180^\circ - \widehat{BOC}$), nên ta có: $S_{BOC} = \frac{1}{2} BC \cdot BO \cdot \sin{\widehat{BOC}}$ Ta sẽ tính độ dài BO và BC trước. Vì $\triangle ANO \sim \triangle ABC$, nên ta có: $\frac{BO}{AB} = \frac{NO}{NA} = \frac{3}{4}$ Do đó, $BO = \frac{3}{4} AB$. Tương tự, ta có $BC = \frac{3}{4} AC$. Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC, ta có: $\cos{\widehat{A}} = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 AB \cdot AC} = \frac{7}{8}$ Do đó, $\sin{\widehat{A}} = \sqrt{1 - \cos^2{\widehat{A}}} = \frac{\sqrt{15}}{8}$. Áp dụng định lý cosin trong tam giác BOC, ta có: $\cos{\widehat{BOC}} = \frac{BC^2 + BO^2 - CO^2}{2 BC \cdot BO} = \frac{7}{8}$ Do đó, $\sin{\widehat{BOC}} = \sqrt{1 - \cos^2{\widehat{BOC}}} = \frac{\sqrt{15}}{8}$. Từ đó, ta tính được: $\frac{S_{BOC}}{S_{ABC}} = \frac{BC \cdot BO}{AB \cdot AC} = \frac{9}{16}$ Vậy diện tích của tam giác BOC bằng $\frac{9}{16}$ diện tích của tam giác ABC.